2 вариант. 1. Решите уравнение. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней: a) 7 + 8x = -2x-5; б) (x-1)(x+1)=2(x²-3). 2. Решите уравнение. a) x³-64x=0; б) 16x³ - 32x² - x + 2 = 0. 3. Решите биквадратное уравнение: 5x⁴ +7х² - 12 = 0; 4. Решите дробное рациональное уравнение: 2 + 8/(x-3) = 4/x 5. Два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой. Скорость одного на 10 км/ч больше скорости второго, поэтому он приехал на 1 час раньше. Найти скорость первого и второго автомобилей, если расстояние между городами 50 км

1. Решите уравнение. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней: a) 7 + 8x = -2x - 5 Решим уравнение: $$7 + 8x = -2x - 5$$ $$8x + 2x = -5 - 7$$ $$10x = -12$$ $$x = -\frac{12}{10} = -\frac{6}{5} = -1,2$$ Ответ: $$\bf{-1,2}$$ б) (x-1)(x+1) = 2(x²-3) Решим уравнение: $$(x-1)(x+1) = 2(x^2 - 3)$$ $$x^2 - 1 = 2x^2 - 6$$ $$x^2 - 2x^2 = -6 + 1$$ $$-x^2 = -5$$ $$x^2 = 5$$ $$x = \pm \sqrt{5}$$ Так как требуется указать меньший корень, выбираем $$-\sqrt{5}$$. $$\sqrt{5} \approx 2.236$$ Ответ: $$\bf{-\sqrt{5}}$$ 2. Решите уравнение. a) x³ - 64x = 0 Решим уравнение: $$x^3 - 64x = 0$$ $$x(x^2 - 64) = 0$$ $$x = 0$$ или $$x^2 - 64 = 0$$ $$x^2 = 64$$ $$x = \pm 8$$ Ответ: $$\bf{-8}$$ б) 16x³ - 32x² - x + 2 = 0 Решим уравнение: $$16x^3 - 32x^2 - x + 2 = 0$$ $$16x^2(x - 2) - 1(x - 2) = 0$$ $$(16x^2 - 1)(x - 2) = 0$$ $$16x^2 - 1 = 0$$ или $$x - 2 = 0$$ $$16x^2 = 1$$ $$x^2 = \frac{1}{16}$$ $$x = \pm \frac{1}{4}$$ $$x = 2$$ Из трех корней $$-\frac{1}{4}$$, $$\frac{1}{4}$$ и 2 наименьший: $$-\frac{1}{4}$$. Ответ: $$\bf{-\frac{1}{4}}$$ 3. Решите биквадратное уравнение: 5x⁴ + 7x² - 12 = 0 Решим биквадратное уравнение, сделав замену $$t = x^2$$. Тогда уравнение примет вид: $$5t^2 + 7t - 12 = 0$$ Найдем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-12) = 49 + 240 = 289$$ Так как дискриминант больше нуля, уравнение имеет два корня: $$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{289}}{2 \cdot 5} = \frac{-7 + 17}{10} = \frac{10}{10} = 1$$ $$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{289}}{2 \cdot 5} = \frac{-7 - 17}{10} = \frac{-24}{10} = -2,4$$ Вернемся к замене $$x^2 = t$$. $$x^2 = 1$$ $$x = \pm 1$$ $$x^2 = -2,4$$ Так как квадрат числа не может быть отрицательным, уравнение не имеет решений. Из двух корней $$x = \pm 1$$ выбираем наименьший. Ответ: $$\bf{-1}$$ 4. Решите дробное рациональное уравнение: 2 + \frac{8}{x-3} = \frac{4}{x} Решим уравнение: $$2 + \frac{8}{x-3} = \frac{4}{x}$$ Приведем к общему знаменателю: $$2 \cdot \frac{x(x-3)}{x(x-3)} + \frac{8x}{x(x-3)} = \frac{4(x-3)}{x(x-3)}$$ $$2x(x-3) + 8x = 4(x-3)$$ $$2x^2 - 6x + 8x = 4x - 12$$ $$2x^2 + 2x = 4x - 12$$ $$2x^2 + 2x - 4x + 12 = 0$$ $$2x^2 - 2x + 12 = 0$$ $$x^2 - x + 6 = 0$$ Найдем дискриминант: $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 - 24 = -23$$ Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней. Ответ: Уравнение не имеет решений. 5. Два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой. Скорость одного на 10 км/ч больше скорости второго, поэтому он приехал на 1 час раньше. Найти скорость первого и второго автомобилей, если расстояние между городами 50 км Пусть скорость первого автомобиля $$x$$ км/ч, тогда скорость второго автомобиля $$(x - 10)$$ км/ч. Время, которое первый автомобиль потратил на дорогу, равно $$\frac{50}{x}$$ часов, а время, которое второй автомобиль потратил на дорогу, равно $$\frac{50}{x - 10}$$ часов. Из условия задачи известно, что первый автомобиль приехал на 1 час раньше, чем второй автомобиль. Составим и решим уравнение: $$\frac{50}{x - 10} - \frac{50}{x} = 1$$ Приведем дроби к общему знаменателю: $$\frac{50x - 50(x - 10)}{x(x - 10)} = 1$$ $$\frac{50x - 50x + 500}{x^2 - 10x} = 1$$ $$\frac{500}{x^2 - 10x} = 1$$ $$500 = x^2 - 10x$$ $$x^2 - 10x - 500 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-500) = 100 + 2000 = 2100$$ $$x_1 = \frac{-(-10) + \sqrt{2100}}{2} = \frac{10 + 10\sqrt{21}}{2} = 5 + 5\sqrt{21} \approx 27.91$$ $$x_2 = \frac{-(-10) - \sqrt{2100}}{2} = \frac{10 - 10\sqrt{21}}{2} = 5 - 5\sqrt{21} \approx -17.91$$ Так как скорость не может быть отрицательной, $$x \approx 27.91$$ км/ч. Тогда скорость второго автомобиля равна $$x - 10 \approx 17.91$$ км/ч. Ответ: Скорость первого автомобиля $$\bf{27.91}$$ км/ч, скорость второго автомобиля $$\bf{17.91}$$ км/ч.