Восемь друзей пожали друг другу руки. Сколько всего сделано рукопожатий? Запиши решение и ответ.

Решение:

Эту задачу можно решить разными способами. Рассмотрим два:

1. Способ через комбинаторику:

   У нас есть 8 друзей, и каждый из них пожимает руку каждому другому. Это задача на комбинации, где нам нужно выбрать 2 человека из 8 для одного рукопожатия. Формула для числа сочетаний из n по k: C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!), где ! означает факториал (произведение всех натуральных чисел от 1 до n).

   В нашем случае n = 8 (количество друзей), k = 2 (количество человек в одном рукопожатии).

   C(8, 2) = 8! / (2! * (8-2)!) = 8! / (2! * 6!) = (8 * 7 * 6!) / (2 * 1 * 6!) = (8 * 7) / 2 = 56 / 2 = 28.

2. Способ через перечисление (и последующее обобщение):

   Представим, что друзей зовут А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З.

   • Друг А пожмет руку 7 другим (Б, В, Г, Д, Е, Ж, З).
   • Друг Б уже пожал руку А, поэтому ему осталось пожать руку 6 оставшимся (В, Г, Д, Е, Ж, З).
   • Друг В уже пожал руки А и Б, ему осталось пожать руку 5 оставшимся (Г, Д, Е, Ж, З).
   • И так далее...
   • Друг Ж пожал руки А, Б, В, Г, Д, Е — осталось 2 (З).
   • Друг З пожал руки А, Б, В, Г, Д, Е, Ж — осталось 0 новых рукопожатий.

   Суммируем все рукопожатия: 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28.

   Заметим, что это сумма арифметической прогрессии от 1 до 7. Её можно посчитать по формуле: S = (n/2) * (a1 + an), где n - количество членов, a1 - первый член, an - последний член.

   S = (7/2) * (1 + 7) = (7/2) * 8 = 7 * 4 = 28.

Ответ: 28