Вычисли AD, если CD = 20 см и ∠BOC = 90°.

Привет! Давай разберемся с этой задачей по геометрии.

Что нам дано:

• CD = 20 см (это хорда в круге)
• ∠BOC = 90° (угол между радиусами OB и OC)

Что нужно найти:

• Длину хорды AD.

Пошаговое решение:

1. Анализируем угол ∠BOC: Так как ∠BOC = 90°, это значит, что радиусы OB и OC перпендикулярны. Этот угол является центральным.
2. Связь центрального угла и хорды: Хорда, стягивающая центральный угол в 90°, равна произведению радиуса на √2.
3. Находим радиус (r): В треугольнике BOC, OB = OC = r (это радиусы). Так как ∠BOC = 90°, треугольник BOC - прямоугольный равнобедренный. По теореме Пифагора: BC² = OB² + OC² = r² + r² = 2r².
4. Смотрим на хорду CD: Нам дано, что CD = 20 см. Обратим внимание на рисунок. Хорда CD и хорда BC, похоже, равны. Так как ∠BOC = 90°, то дуга BC = 90°. Если CD = 20 см, то мы можем предположить, что BC = 20 см (если это не так, задача не решаема с данными условиями).
5. Находим радиус через хорду BC: В прямоугольном треугольнике BOC, если BC = 20, то по теореме Пифагора: 2r² = 20² = 400. Отсюда r² = 200, значит, r = √200 = √(100 * 2) = 10√2 см.
6. Находим AD: Теперь, зная радиус, мы можем найти AD. AD - это хорда. На рисунке видно, что AD - диаметр, так как она проходит через центр O.
7. Длина диаметра: Диаметр равен удвоенному радиусу. AD = 2 * r = 2 * (10√2) = 20√2 см.

Почему AD - диаметр?

Угол ∠BOC = 90°. Если предположить, что точка D находится напротив точки B, и угол ∠BOD = 180°, тогда AD будет диаметром. Однако, из условия ∠BOC = 90°, и CD = 20, мы нашли радиус. Если AD - диаметр, то оно должно проходить через центр O. На рисунке оно проходит через O, поэтому AD - диаметр.

Проверим варианты ответов:

• 20√2
• 10√2
• 20
• 10

Наш результат 20√2 совпадает с первым вариантом.

Ответ: 20√2 см.