1. Вычислить: $$10^{-2\lg{\frac{1}{2}}}$$ 2. Найти х: а) $$log_x 32 = -5$$; б) $$log_5 x = 3$$ 3. Вычислить: $$-2\log_3 e \cdot \ln{\frac{1}{9}}$$ 4. Прологарифмировать по основанию 2: $$x = \frac{2 \sqrt{a^3}}{\sqrt[3]{4b^2}}$$ 5. Пропотенцировать: $$\lg x = 2 + \frac{2}{3}(2\lg a - \lg 8) + \frac{1}{2}\lg b$$ 6. Решить уравнение: $$\log_{x-1}(2x^2 - 14) = 2$$ 7. Решить неравенство: $$\log_{\frac{1}{2}}(8 + 11x) > \log_{\frac{1}{2}} 7$$

1. Вычислить: $$10^{-2\lg{\frac{1}{2}}}$$ $$10^{-2\lg{\frac{1}{2}}} = 10^{\lg{(\frac{1}{2})^{-2}}} = 10^{\lg{2^2}} = 10^{\lg{4}} = 4$$ Ответ: 4 2. Найти х: a) $$log_x 32 = -5$$ По определению логарифма: $$x^{-5} = 32$$ $$x^{-5} = 2^5$$ $$x = (2^5)^{-\frac{1}{5}}$$ $$x = 2^{-1}$$ $$x = \frac{1}{2}$$ Ответ: $$\frac{1}{2}$$ б) $$log_5 x = 3$$ По определению логарифма: $$x = 5^3$$ $$x = 125$$ Ответ: 125 3. Вычислить: $$-2\log_3 e \cdot \ln{\frac{1}{9}}$$ $$-2\log_3 e \cdot \ln{\frac{1}{9}} = -2\log_3 e \cdot \ln{3^{-2}} = -2\log_3 e \cdot (-2)\ln{3} = 4\log_3 e \cdot \ln{3} = 4 \frac{\ln e}{\ln 3} \cdot \ln 3 = 4 \frac{1}{\ln 3} \cdot \ln 3 = 4$$ Ответ: 4 4. Прологарифмировать по основанию 2: $$x = \frac{2 \sqrt{a^3}}{\sqrt[3]{4b^2}}$$ $$\log_2{x} = \log_2{\frac{2 \sqrt{a^3}}{\sqrt[3]{4b^2}}}$$ $$\log_2{x} = \log_2{2 \sqrt{a^3}} - \log_2{\sqrt[3]{4b^2}}$$ $$\log_2{x} = \log_2{2} + \log_2{\sqrt{a^3}} - \log_2{(4b^2)^{\frac{1}{3}}}$$ $$\log_2{x} = 1 + \log_2{a^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{3}\log_2{(4b^2)}$$ $$\log_2{x} = 1 + \frac{3}{2}\log_2{a} - \frac{1}{3}(\log_2{4} + \log_2{b^2})$$ $$\log_2{x} = 1 + \frac{3}{2}\log_2{a} - \frac{1}{3}(2 + 2\log_2{b})$$ $$\log_2{x} = 1 + \frac{3}{2}\log_2{a} - \frac{2}{3} - \frac{2}{3}\log_2{b}$$ $$\log_2{x} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2}\log_2{a} - \frac{2}{3}\log_2{b}$$ Ответ: $$\log_2{x} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2}\log_2{a} - \frac{2}{3}\log_2{b}$$ 5. Пропотенцировать: $$\lg x = 2 + \frac{2}{3}(2\lg a - \lg 8) + \frac{1}{2}\lg b$$ $$\lg x = 2 + \frac{2}{3}(2\lg a - \lg 8) + \frac{1}{2}\lg b$$ $$\lg x = 2 + \frac{4}{3}\lg a - \frac{2}{3}\lg 8 + \frac{1}{2}\lg b$$ $$\lg x = \lg 100 + \lg a^{\frac{4}{3}} - \lg 8^{\frac{2}{3}} + \lg b^{\frac{1}{2}}$$ $$\lg x = \lg 100 + \lg a^{\frac{4}{3}} - \lg (2^3)^{\frac{2}{3}} + \lg b^{\frac{1}{2}}$$ $$\lg x = \lg 100 + \lg a^{\frac{4}{3}} - \lg 2^2 + \lg b^{\frac{1}{2}}$$ $$\lg x = \lg 100 + \lg a^{\frac{4}{3}} - \lg 4 + \lg b^{\frac{1}{2}}$$ $$\lg x = \lg (100 \cdot a^{\frac{4}{3}} \cdot \frac{b^{\frac{1}{2}}}{4})$$ $$\lg x = \lg (25 a^{\frac{4}{3}} b^{\frac{1}{2}})$$ $$x = 25 a^{\frac{4}{3}} b^{\frac{1}{2}}$$ Ответ: $$x = 25 a^{\frac{4}{3}} b^{\frac{1}{2}}$$ 6. Решить уравнение: $$\log_{x-1}(2x^2 - 14) = 2$$ По определению логарифма: $$(x-1)^2 = 2x^2 - 14$$ $$x^2 - 2x + 1 = 2x^2 - 14$$ $$x^2 + 2x - 15 = 0$$ По теореме Виета: $$x_1 + x_2 = -2$$ $$x_1 \cdot x_2 = -15$$ $$x_1 = -5$$ $$x_2 = 3$$ Проверим: При $$x = -5$$: $$\log_{-5-1}(2(-5)^2 - 14) = \log_{-6}(50 - 14) = \log_{-6}(36)$$ - не имеет смысла, так как основание логарифма отрицательное. При $$x = 3$$: $$\log_{3-1}(2(3)^2 - 14) = \log_{2}(18 - 14) = \log_{2}(4) = 2$$ - подходит. Ответ: 3 7. Решить неравенство: $$\log_{\frac{1}{2}}(8 + 11x) > \log_{\frac{1}{2}} 7$$ Основание логарифма меньше 1, значит, функция убывает. При переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный. $$8 + 11x < 7$$ $$11x < -1$$ $$x < -\frac{1}{11}$$ Также необходимо учесть ОДЗ: $$8 + 11x > 0$$ $$11x > -8$$ $$x > -\frac{8}{11}$$ Ответ: $$x \in (-\frac{8}{11}; -\frac{1}{11})$$