2.310 Вычислите: a) $$\frac{4}{9} \cdot (3\frac{3}{14} - 2\frac{1}{5})^2$$; б) $$(\frac{2}{3})^3 + \frac{5}{9} \cdot \frac{9}{11}$$; в) $$(2\frac{1}{2} - \frac{11}{14}) \cdot (1\frac{4}{9} + 2\frac{5}{6} - 2\frac{3}{4})$$

a) $$\frac{4}{9} \cdot (3\frac{3}{14} - 2\frac{1}{5})^2$$

Преобразуем смешанные дроби в неправильные:

$$3\frac{3}{14} = \frac{3 \cdot 14 + 3}{14} = \frac{42 + 3}{14} = \frac{45}{14}$$ $$2\frac{1}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{10 + 1}{5} = \frac{11}{5}$$

Тогда выражение примет вид:

$$\frac{4}{9} \cdot (\frac{45}{14} - \frac{11}{5})^2$$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю: Общий знаменатель для 14 и 5 равен 70.

$$\frac{45}{14} = \frac{45 \cdot 5}{14 \cdot 5} = \frac{225}{70}$$ $$\frac{11}{5} = \frac{11 \cdot 14}{5 \cdot 14} = \frac{154}{70}$$

Теперь выражение в скобках:

$$\frac{225}{70} - \frac{154}{70} = \frac{225 - 154}{70} = \frac{71}{70}$$

Возводим в квадрат:

$$(\frac{71}{70})^2 = \frac{71^2}{70^2} = \frac{5041}{4900}$$

Умножаем на $$\frac{4}{9}$$:

$$\frac{4}{9} \cdot \frac{5041}{4900} = \frac{4 \cdot 5041}{9 \cdot 4900} = \frac{20164}{44100} = \frac{5041}{11025}$$

Ответ: $$\frac{5041}{11025}$$

б) $$(\frac{2}{3})^3 + \frac{5}{9} \cdot \frac{9}{11}$$

Возводим $$\frac{2}{3}$$ в куб:

$$(\frac{2}{3})^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27}$$

Умножаем $$\frac{5}{9}$$ на $$\frac{9}{11}$$:

$$\frac{5}{9} \cdot \frac{9}{11} = \frac{5 \cdot 9}{9 \cdot 11} = \frac{5}{11}$$

Складываем $$\frac{8}{27}$$ и $$\frac{5}{11}$$:

$$\frac{8}{27} + \frac{5}{11} = \frac{8 \cdot 11}{27 \cdot 11} + \frac{5 \cdot 27}{11 \cdot 27} = \frac{88}{297} + \frac{135}{297} = \frac{88 + 135}{297} = \frac{223}{297}$$

Ответ: $$\frac{223}{297}$$

в) $$(2\frac{1}{2} - \frac{11}{14}) \cdot (1\frac{4}{9} + 2\frac{5}{6} - 2\frac{3}{4})$$

Преобразуем смешанные дроби в неправильные:

$$2\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2}$$ $$1\frac{4}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 4}{9} = \frac{13}{9}$$ $$2\frac{5}{6} = \frac{2 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{17}{6}$$ $$2\frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{11}{4}$$

Тогда выражение примет вид:

$$(\frac{5}{2} - \frac{11}{14}) \cdot (\frac{13}{9} + \frac{17}{6} - \frac{11}{4})$$

Приведем дроби в первой скобке к общему знаменателю: Общий знаменатель для 2 и 14 равен 14.

$$\frac{5}{2} = \frac{5 \cdot 7}{2 \cdot 7} = \frac{35}{14}$$

Вычисляем первую скобку:

$$\frac{35}{14} - \frac{11}{14} = \frac{35 - 11}{14} = \frac{24}{14} = \frac{12}{7}$$

Приведем дроби во второй скобке к общему знаменателю: Общий знаменатель для 9, 6 и 4 равен 36.

$$\frac{13}{9} = \frac{13 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{52}{36}$$ $$\frac{17}{6} = \frac{17 \cdot 6}{6 \cdot 6} = \frac{102}{36}$$ $$\frac{11}{4} = \frac{11 \cdot 9}{4 \cdot 9} = \frac{99}{36}$$

Вычисляем вторую скобку:

$$\frac{52}{36} + \frac{102}{36} - \frac{99}{36} = \frac{52 + 102 - 99}{36} = \frac{55}{36}$$

Умножаем результаты первой и второй скобок:

$$\frac{12}{7} \cdot \frac{55}{36} = \frac{12 \cdot 55}{7 \cdot 36} = \frac{660}{252} = \frac{55}{21}$$

Ответ: $$\frac{55}{21}$$