Выполните действия: a) \(\frac{24a^4}{b^3} \cdot \frac{b^4}{8a^4}\); б) \(\frac{7xy^2}{2} : 14x^2y^2\); в) \(\frac{m+2n}{m-n} \cdot \frac{m^2 - n^2}{5m+10n}\); г) \(\frac{x^2-2x+1}{x^2-25} : \frac{x-1}{x^2 + 5x}\)

Решение:

a) \(\frac{24a^4}{b^3} \cdot \frac{b^4}{8a^4}\)

Сокращаем числитель и знаменатель на \(8a^4\):

$$ \frac{24a^4}{b^3} \cdot \frac{b^4}{8a^4} = \frac{3}{b^3} \cdot b^4 = 3b $$

б) \(\frac{7xy^2}{2} : 14x^2y^2\)

Заменим деление умножением на обратную дробь:

$$ \frac{7xy^2}{2} : 14x^2y^2 = \frac{7xy^2}{2} \cdot \frac{1}{14x^2y^2} $$

Сокращаем числитель и знаменатель на \(7xy^2\):

$$ \frac{7xy^2}{2} \cdot \frac{1}{14x^2y^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2x} = \frac{1}{4x} $$

в) \(\frac{m+2n}{m-n} \cdot \frac{m^2 - n^2}{5m+10n}\)

Разложим \(m^2 - n^2\) как разность квадратов и вынесем 5 за скобки в \(5m+10n\):

$$ \frac{m+2n}{m-n} \cdot \frac{m^2 - n^2}{5m+10n} = \frac{m+2n}{m-n} \cdot \frac{(m-n)(m+n)}{5(m+2n)} $$

Сокращаем \((m+2n)\) и \((m-n)\):

$$ \frac{m+2n}{m-n} \cdot \frac{(m-n)(m+n)}{5(m+2n)} = \frac{m+n}{5} $$

г) \(\frac{x^2-2x+1}{x^2-25} : \frac{x-1}{x^2 + 5x}\)

Заменим деление умножением на обратную дробь:

$$ \frac{x^2-2x+1}{x^2-25} : \frac{x-1}{x^2 + 5x} = \frac{x^2-2x+1}{x^2-25} \cdot \frac{x^2 + 5x}{x-1} $$

Разложим на множители числитель и знаменатель:

$$ \frac{x^2-2x+1}{x^2-25} \cdot \frac{x^2 + 5x}{x-1} = \frac{(x-1)^2}{(x-5)(x+5)} \cdot \frac{x(x+5)}{x-1} $$

Сокращаем \((x-1)\) и \((x+5)\):

$$ \frac{(x-1)^2}{(x-5)(x+5)} \cdot \frac{x(x+5)}{x-1} = \frac{(x-1)}{(x-5)} \cdot x = \frac{x(x-1)}{x-5} $$