Решения задач:

Задача 1:

Совунья вырезала из шахматной доски 8x8 одну угловую клетку. Нужно разрезать оставшуюся часть доски на уголки из трех клеток.

Решение: Поскольку шахматная доска 8x8 содержит 64 клетки, после удаления одной клетки остается 63 клетки. Так как каждый уголок состоит из 3 клеток, то 63 должно делиться на 3, что и происходит: 63 / 3 = 21. Следовательно, разрезать доску на 21 уголок возможно.

Нужно представить один из возможных вариантов разрезания. К сожалению, без визуализации доски это сделать затруднительно. Но можно представить, как это может выглядеть, комбинируя разные виды уголков, показанных на рисунке.

Задача 2:

Свинке Нюше подарили 100 четырехклеточных фигурок в виде буквы "Т". Нужно сложить из них большой квадрат.

Решение: Каждая фигурка состоит из 4 клеток. 100 фигурок будут содержать 100 * 4 = 400 клеток. Чтобы сложить из них квадрат, необходимо, чтобы количество клеток было полным квадратом. Так как $$20 \times 20 = 400$$, то можно сложить квадрат 20x20.

Задача 3:

Нюша разрезала шахматную доску 8x8 без угловой клетки на несколько одинаковых прямоугольников. Может ли количество этих прямоугольников быть не больше 10?

Решение: Шахматная доска 8x8 содержит 64 клетки. После удаления угловой клетки остается 63 клетки. Число 63 можно разложить на множители разными способами, например:

• 1 * 63 (один прямоугольник 1x63)
• 3 * 21 (три прямоугольника 1x21 или 3 прямоугольника 3x7)
• 7 * 9 (семь прямоугольников 1x9 или семь прямоугольников 3x3)
• 9 * 7 (девять прямоугольников 1x7)
• 21 * 3 (двадцать один прямоугольник 1x3)
• 63 * 1 (шестьдесят три прямоугольника 1x1)

Таким образом, возможно разрезать на 7 или 9 прямоугольников. Следовательно, количество прямоугольников может быть не больше 10.

Задача 4:

Совунья вырезала из квадрата 17x17 центральный квадрат 15x15. Нужно разрезать оставшуюся каемку на 8 одинаковых частей и сложить из них квадрат.

Решение: Разница между площадями квадратов 17x17 и 15x15 равна $$17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64$$.

Так как нужно разрезать каемку на 8 одинаковых частей, каждая часть будет иметь площадь $$64 / 8 = 8$$.

Из этих 8 частей можно сложить квадрат, если правильно их разрезать и перекомпоновать. Можно разрезать каемку на 8 прямоугольников размером 1x8 и сложить из них квадрат 4x4, площадью 16, что противоречит условию. Другой вариант, если разделить каждый кусок площади 8 на два прямоугольника 1х4. Необходимо разрезать каемку так, чтобы получить 8 одинаковых фигур, из которых можно сложить квадрат. Оптимальным будет разрезать каемку на 8 одинаковых частей, которые будут представлять собой прямоугольники размером $$2 \times 4$$. При правильном разрезании каемки, получим 8 одинаковых частей, из которых можно сложить квадрат.