Задача 12: Одновременно зажгли три свечи одинаковой длины, но разного диаметра. Длина каждой свечи 20 см. Первая свеча была самая толстая, вторая - потоньше, а третья - самая тонкая. В тот момент, когда догорела третья свеча, первую и вторую тоже потушили. Оказалось, что огарок от первой свечи в три раза длиннее, чем от второй. За какое время полностью сгорает третья свеча, если известно, что первая сгорает за 10 ч, а вторая за 5 ч?

Решение:

1. Пусть x - время, которое горели свечи до того, как их потушили. Тогда первая свеча сгорела на \(\frac{x}{10}\) своей длины, а вторая на \(\frac{x}{5}\) своей длины.

2. Остаток первой свечи равен \(20 - 20\cdot\frac{x}{10} = 20(1 - \frac{x}{10})\). Остаток второй свечи равен \(20 - 20\cdot\frac{x}{5} = 20(1 - \frac{x}{5})\).

3. По условию, остаток первой свечи в 3 раза больше остатка второй свечи, поэтому составим уравнение: \(20(1 - \frac{x}{10}) = 3 \cdot 20(1 - \frac{x}{5})\).

4. Решим уравнение:
\(1 - \frac{x}{10} = 3 - \frac{3x}{5}\)
\(\frac{3x}{5} - \frac{x}{10} = 3 - 1\)
\(\frac{6x - x}{10} = 2\)
\(\frac{5x}{10} = 2\)
\(\frac{x}{2} = 2\)
\(x = 4\) часа.

5. За 4 часа вторая свеча сгорела на \(\frac{4}{5}\) своей длины, значит, остаток от второй свечи составляет \(\frac{1}{5}\) часть от 20 см, то есть 4 см.

6. Остаток от первой свечи в 3 раза больше, то есть 12 см. Значит, первая свеча сгорела на 8 см за 4 часа, а вторая на 16 см за 4 часа.

7. Скорость сгорания первой свечи: \(\frac{8}{4} = 2\) см/час.

8. Скорость сгорания второй свечи: \(\frac{16}{4} = 4\) см/час.

9. Поскольку третья свеча сгорела полностью за 4 часа, ее скорость сгорания: \(\frac{20}{4} = 5\) см/час.

Ответ: 4 часа.