Задача: Космическая станция запущена на Луну. На каком расстоянии от центра Земли станция будет притягиваться Землей и Луной с одинаковой силой? Считать, что масса Земли больше массы Луны в 81 раз, а расстояние между их центрами равно 60 земным радиусам.

Обозначим:

(M_З) – масса Земли;

(M_Л) – масса Луны;

(r) – расстояние от центра Земли до станции;

(R) – расстояние между центрами Земли и Луны (60 земных радиусов).

По условию, (M_З = 81M_Л) и (R = 60R_З), где (R_З) – земной радиус.

Сила притяжения между двумя телами определяется законом всемирного тяготения:

$$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$$

где (G) – гравитационная постоянная, (m_1) и (m_2) – массы тел, (r) – расстояние между ними.

Сила притяжения станции Землей:

$$F_З = G \frac{M_З m}{r^2} = G \frac{81M_Л m}{r^2}$$

Сила притяжения станции Луной:

$$F_Л = G \frac{M_Л m}{(R - r)^2}$$

По условию, силы притяжения равны: (F_З = F_Л).

Следовательно:

$$G \frac{81M_Л m}{r^2} = G \frac{M_Л m}{(R - r)^2}$$

Сокращаем (G), (M_Л) и (m):

$$\frac{81}{r^2} = \frac{1}{(R - r)^2}$$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей:

$$\frac{9}{r} = \frac{1}{R - r}$$

Решаем относительно (r):

$$9(R - r) = r$$ $$9R - 9r = r$$ $$9R = 10r$$ $$r = \frac{9}{10} R$$

Так как (R = 60R_З):

$$r = \frac{9}{10} \cdot 60R_З = 54R_З$$

Таким образом, станция будет притягиваться Землей и Луной с одинаковой силой на расстоянии 54 земных радиусов от центра Земли.

Ответ: 54