Задание 3. В прямоугольной системе координат построен квадрат с вершинами в точках (1;1), (1; -3), (-3; 1), (-3; 3), внутри него наугад выбирают точку. Найдите вероятность того, что точка окажется внутри прямоугольника с вершинами в точках (-1; -1), (-2; -1), (-2; -3), (-1;-3). Задание 4. В прямоугольной системе координат построен треугольник с вершинами в точках (-2; 3), (-1; -4), (3; 4), внутри него наугад выбирают точку. Найдите вероятность того, что точка окажется внутри окружности в центром в точке (0; -3) и радиусом 0,5. Задание 5. Внутри окружности с радиусом 3,14 случайным образом выбирают точку. Какова вероятность того, что расстояние между этой точкой и центром данной окружности будет меньше, чем 1,5? Задание 6. Внутри параллелограмма TYRF со сторонами ТҮ=34 см и YR-51 см и высотой ҮН-23 см, проведенной к большему основанию, случайным образом выбирают точку. Чему равна вероятность того, что эта точка окажется на расстоянии не ближе, чем 5 см от оснований YR и TF? Задание 7. Спортивный зал в школе имеет площадь 288 м². Волейбольная площадка имеет длину 18 метров и ширину 9 метров. Найдите вероятность того, что при падении мяча в спортивном зале, первое его касание пола (касание в одной точке) будет в ауте (вне волейбольной площадки). Задание 8. Диагонали трапеции THPR пересекаются в точке О. Основания ТН и PR равны 14 и 49 соответственно, высота трапеции равна 9. В трапеции THPR наугад выбирают точку. Найдите вероятность того, что точка будет принадлежать треугольнику TOR или треугольнику НОР.

Решаю задачи по геометрии и теории вероятностей. Задание 3. Шаг 1. Анализ условия. * Квадрат с вершинами (1;1), (1; -3), (-3; 1), (-3; -3). * Внутри него прямоугольник с вершинами (-1; -1), (-2; -1), (-2; -3), (-1;-3). * Нужно найти вероятность того, что случайная точка в квадрате окажется внутри прямоугольника. Шаг 2. План решения. 1. Найти площадь квадрата. 2. Найти площадь прямоугольника. 3. Найти вероятность как отношение площади прямоугольника к площади квадрата. Шаг 3. Решение. 1. Сторона квадрата равна расстоянию между точками (1;1) и (1;-3), что равно $$|1 - (-3)| = 4$$. Площадь квадрата равна $$4^2 = 16$$. 2. Стороны прямоугольника равны расстояниям между точками (-1;-1) и (-2;-1), а также (-1;-1) и (-1;-3). Это равно $$|-1 - (-2)| = 1$$ и $$|-1 - (-3)| = 2$$. Площадь прямоугольника равна $$1 \cdot 2 = 2$$. 3. Вероятность равна $$\frac{2}{16} = \frac{1}{8} = 0,125$$. Ответ: Вероятность равна 0,125. Задание 4. Шаг 1. Анализ условия. * Треугольник с вершинами (-2; 3), (-1; -4), (3; 4). * Окружность с центром (0; -3) и радиусом 0,5. * Нужно найти вероятность того, что случайная точка в треугольнике окажется внутри окружности. Шаг 2. План решения. 1. Найти площадь треугольника. 2. Найти площадь окружности. 3. Найти вероятность как отношение площади окружности к площади треугольника. Шаг 3. Решение. 1. Площадь треугольника можно найти по формуле Герона или через определитель. Использование формулы Герона. * Стороны треугольника: $$a = \sqrt{(-2 - (-1))^2 + (3 - (-4))^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50}$$, $$b = \sqrt{(-1 - 3)^2 + (-4 - 4)^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80}$$, $$c = \sqrt{(-2 - 3)^2 + (3 - 4)^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$$. * Полупериметр: $$p = \frac{\sqrt{50} + \sqrt{80} + \sqrt{26}}{2}$$. * Площадь: $$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} \approx \sqrt{10.8(10.8 - 7.07)(10.8 - 8.9)(10.8 - 5.1)} \approx \sqrt{10.8 \cdot 3.73 \cdot 1.9 \cdot 5.7} \approx \sqrt{436.8} \approx 20.9$$. 2. Площадь окружности: $$S = \pi r^2 = \pi (0.5)^2 = 0.25\pi \approx 0.785$$. 3. Вероятность: $$\frac{0.785}{20.9} \approx 0.0376$$. Ответ: Вероятность примерно 0.0376. Задание 5. Шаг 1. Анализ условия. * Окружность с радиусом 3,14. * Нужно найти вероятность того, что расстояние от случайной точки до центра окружности будет меньше, чем 1,5. Шаг 2. План решения. 1. Найти площадь большой окружности. 2. Найти площадь маленькой окружности с радиусом 1,5. 3. Найти вероятность как отношение площади маленькой окружности к площади большой окружности. Шаг 3. Решение. 1. Площадь большой окружности: $$S_1 = \pi r_1^2 = \pi (3.14)^2 \approx 30.97$$. 2. Площадь маленькой окружности: $$S_2 = \pi r_2^2 = \pi (1.5)^2 \approx 7.07$$. 3. Вероятность: $$\frac{S_2}{S_1} = \frac{7.07}{30.97} \approx 0.228$$. Ответ: Вероятность примерно 0.228. Задание 6. Шаг 1. Анализ условия. * Параллелограмм TYRF, TY = 34 см, YR = 51 см, YH = 23 см (высота к YR). * Нужно найти вероятность, что случайная точка будет не ближе 5 см к YR и TF. Шаг 2. План решения. 1. Найти площадь параллелограмма. 2. Рассмотреть внутренний параллелограмм, находящийся на расстоянии 5 см от оснований. 3. Найти площадь внутреннего параллелограмма. 4. Найти вероятность. Шаг 3. Решение. 1. Площадь параллелограмма: $$S_1 = YR \cdot YH = 51 \cdot 23 = 1173 \text{ см}^2$$. 2. Высота внутреннего параллелограмма будет равна $$23 - 5 - 5 = 13 \text{ см}$$. Сторона остается 51 см. 3. Площадь внутреннего параллелограмма: $$S_2 = 51 \cdot 13 = 663 \text{ см}^2$$. 4. Вероятность: $$\frac{S_2}{S_1} = \frac{663}{1173} \approx 0.565$$. Ответ: Вероятность примерно 0.565. Задание 7. Шаг 1. Анализ условия. * Площадь зала 288 м². * Волейбольная площадка: длина 18 м, ширина 9 м. * Нужно найти вероятность, что первое касание мяча будет вне волейбольной площадки. Шаг 2. План решения. 1. Найти площадь волейбольной площадки. 2. Найти площадь зала вне волейбольной площадки. 3. Найти вероятность. Шаг 3. Решение. 1. Площадь волейбольной площадки: $$S_1 = 18 \cdot 9 = 162 \text{ м}^2$$. 2. Площадь зала вне площадки: $$S_2 = 288 - 162 = 126 \text{ м}^2$$. 3. Вероятность: $$\frac{S_2}{S_1 + S_2} = \frac{126}{288} \approx 0.4375$$. Ответ: Вероятность равна 0.4375. Задание 8. Шаг 1. Анализ условия. * Трапеция THPR, TH = 14, PR = 49, высота = 9. * Нужно найти вероятность, что случайная точка будет принадлежать треугольнику TOR или HOP. Шаг 2. План решения. 1. Найти отношение площадей треугольников TOR и HOP. 2. Определить площадь трапеции. 3. Найти вероятность. Шаг 3. Решение. 1. Треугольники TOR и HOP имеют общую высоту, поэтому отношение их площадей равно отношению оснований: $$\frac{S_{TOR}}{S_{HOP}} = \frac{TH}{PR} = \frac{14}{49} = \frac{2}{7}$$. Общая площадь этих двух треугольников: $$S_{TOR} + S_{HOP} = \frac{2}{7} S_{HOP} + S_{HOP} = \frac{9}{7} S_{HOP}$$. 2. Высота трапеции равна 9. Площадь трапеции: $$S_{THPR} = \frac{TH + PR}{2} \cdot h = \frac{14 + 49}{2} \cdot 9 = \frac{63 \cdot 9}{2} = 283.5$$. 3. Найти отношение площадей TOR и HOP к общей площади трапеции невозможно, так как нет данных о высоте этих треугольников. Однако можно найти вероятность принадлежности точки к треугольникам TOR и HOP в предположении, что точка может равновероятно попасть в любую точку трапеции THPR. Пусть площади треугольников TOR и HOP составляют малую часть от всей площади трапеции THPR. Точная вероятность не может быть найдена без дополнительных данных о высоте треугольников TOR и HOP. Ответ: Недостаточно данных для точного ответа.