Задание 4. Докажите, что площадь равностороннего треугольника можно вычислять по формуле \(S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\), где a — сторона треугольника.

Давайте докажем формулу для площади равностороннего треугольника. **1. Понимание задачи:** - Нам нужно доказать, что площадь равностороннего треугольника, у которого все стороны равны 'a', можно вычислить по формуле \( S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \). **2. Доказательство:** - Начнем с того, что рассмотрим равносторонний треугольник \(\triangle ABC\), где \(AB = BC = AC = a\). - Проведем высоту \(BH\) к основанию \(AC\). Высота равностороннего треугольника также является его медианой и биссектрисой. Это значит, что \(AH = HC = \frac{a}{2}\). - Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle ABH\). - По теореме Пифагора: \(AB^2 = AH^2 + BH^2\). - Подставим известные значения: \(a^2 = (\frac{a}{2})^2 + BH^2\). - Решим уравнение относительно \(BH\): \(BH^2 = a^2 - (\frac{a}{2})^2\) \(BH^2 = a^2 - \frac{a^2}{4}\) \(BH^2 = \frac{4a^2 - a^2}{4}\) \(BH^2 = \frac{3a^2}{4}\) \(BH = \sqrt{\frac{3a^2}{4}}\) \(BH = \frac{a\sqrt{3}}{2}\) - Теперь, когда мы знаем высоту \(BH\), мы можем вычислить площадь треугольника \(\triangle ABC\): \(S = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота\) \(S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH\) \(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}\) \(S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\) **3. Вывод:** - Таким образом, мы доказали, что площадь равностороннего треугольника со стороной \(a\) равна \( \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \). **Итоговый ответ:** Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле \( S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \), что и требовалось доказать.