Задание 2. Докажите, что если диагонали параллелограмма образуют равные углы с одной из его сторон, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Пусть дан параллелограмм $$ABCD$$, диагонали $$AC$$ и $$BD$$ пересекаются в точке $$O$$. Пусть диагонали образуют равные углы со стороной $$AD$$, то есть $$\angle CAD = \angle BDA$$. Так как $$ABCD$$ - параллелограмм, то $$AD \parallel BC$$ и $$AB \parallel CD$$. $$\angle CAD$$ и $$\angle ACB$$ - накрест лежащие углы при параллельных прямых $$AD$$ и $$BC$$ и секущей $$AC$$, следовательно, $$\angle CAD = \angle ACB$$. $$\angle BDA$$ и $$\angle DBC$$ - накрест лежащие углы при параллельных прямых $$AD$$ и $$BC$$ и секущей $$BD$$, следовательно, $$\angle BDA = \angle DBC$$. По условию $$\angle CAD = \angle BDA$$, значит, $$\angle ACB = \angle DBC$$. Рассмотрим треугольник $$BOC$$. В нём $$\angle ACB = \angle DBC$$, следовательно, треугольник $$BOC$$ - равнобедренный и $$BO = OC$$. Так как в параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам, то $$AO = OC$$ и $$BO = OD$$. Из равенства $$BO = OC$$ следует, что $$AO = OC = BO = OD$$, то есть диагонали параллелограмма равны. А если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником. Что и требовалось доказать.