ЗАДАНИЕ №2 На изображённом четырёхугольнике отмечены равные стороны. Известно, ∠CBD = 73°, ∠ADC = 142°. Найти угол АBD. ∠ABD =

Рассмотрим четырехугольник $$ABCD$$. Из условия задачи известно, что $$DC = BC$$ и $$AD = AB$$. Это означает, что $$\triangle ADC$$ и $$\triangle ABC$$ – равнобедренные. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, $$\angle DAC = \angle DCA$$ и $$\angle BAC = \angle BCA$$. Сумма углов четырехугольника равна 360 градусам: $$\angle ADC + \angle DCB + \angle CBA + \angle BAD = 360\text{\deg}$$ Известно, что $$\angle ADC = 142\text{\deg}$$. Обозначим $$\angle DCB = x$$. Тогда $$\angle BAD = 360\text{\deg} - 142\text{\deg} - \angle DCB - \angle CBA = 218\text{\deg} - x - \angle CBA$$. $$\angle CBA = \angle CBD + \angle ABD$$. Из условия известно, что $$\angle CBD = 73\text{\deg}$$. Тогда $$\angle CBA = 73\text{\deg} + \angle ABD$$. Так как $$DC = BC$$, то треугольник $$DBC$$ - равнобедренный, следовательно, $$\angle CDB = \angle CBD = 73\text{\deg}$$. $$\angle DCB = 180\text{\deg} - 73\text{\deg} - 73\text{\deg} = 34\text{\deg}$$. Треугольник $$ADC$$ - равнобедренный, значит $$\angle CAD = \angle ACD = (180\text{\deg} - \angle ADC) / 2 = (180\text{\deg} - 142\text{\deg}) / 2 = 38\text{\deg} / 2 = 19\text{\deg}$$. $$\angle ACB = \angle DCB - \angle ACD = 34\text{\deg} - 19\text{\deg} = 15\text{\deg}$$. $$\angle CAB = \angle ACB = 15\text{\deg}$$. Следовательно, $$\angle DAB = \angle DAC + \angle CAB = 19\text{\deg} + 15\text{\deg} = 34\text{\deg}$$. $$\angle ABC = 360\text{\deg} - 142\text{\deg} - 34\text{\deg} - 34\text{\deg} = 150\text{\deg}$$. $$\angle ABD = \angle ABC - \angle CBD = 150\text{\deg} - 73\text{\deg} = \mathbf{77}\text{\deg}$$.