Задание 2: Найдите производные функций: a) y = x sin x; б) y = ctgx / x ; в) у = (2x - 3)5. Задание 3: Вычислите f' (π/6), если f (x) = 1,5x² - πx/2 +5-4 cos x. Задание 4: Прямолинейное движение точки описывается законом s = t⁴ - 2t² (м). Найдите ее скорость в момент времени t = 3c. Задание 5: Дана функция у = 0,5х⁴ - 4x². Найдите: а) промежутки возрастания и убывания функции; б) точки экстремума; в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-1, 3].

Задание 2

a) y = x sin x

Производная произведения находится по формуле $$(uv)' = u'v + uv'$$. В нашем случае $$u = x$$, $$v = sin x$$. Тогда $$u' = 1$$, $$v' = cos x$$.

$$y' = (x sin x)' = 1 cdot sin x + x cdot cos x = sin x + x cos x$$

б) y = ctgx / x

Производная частного находится по формуле $$(u/v)' = (u'v - uv')/v^2$$. В нашем случае $$u = ctg x$$, $$v = x$$. Тогда $$u' = -1/sin^2 x$$, $$v' = 1$$.

$$y' = (ctgx / x)' = ((-1/sin^2 x) cdot x - ctg x cdot 1) / x^2 = (-x/sin^2 x - ctg x) / x^2 = - (x + ctg x cdot sin^2 x) / (x^2 cdot sin^2 x)$$

в) y = (2x - 3)⁵

Применим правило дифференцирования сложной функции: $$y' = 5(2x - 3)^4 cdot (2x - 3)' = 5(2x - 3)^4 cdot 2 = 10(2x - 3)^4$$

Задание 3

Дано: $$f(x) = 1.5x^2 - \frac{\pi x}{2} + 5 - 4 \cos x$$. Нужно вычислить $$f'(\frac{\pi}{6})$$.

Найдем производную функции: $$f'(x) = (1.5x^2 - \frac{\pi x}{2} + 5 - 4 \cos x)' = 3x - \frac{\pi}{2} + 4 \sin x$$

Подставим $$x = \frac{\pi}{6}$$ в производную: $$f'(\frac{\pi}{6}) = 3 \cdot \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{2} + 4 \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} + 4 \cdot \frac{1}{2} = 0 + 2 = 2$$

Задание 4

Дано: $$s = t^4 - 2t^2$$. Нужно найти скорость в момент времени $$t = 3c$$. Скорость есть производная пути по времени: $$v = \frac{ds}{dt}$$

$$v(t) = (t^4 - 2t^2)' = 4t^3 - 4t$$

Найдем скорость в момент времени $$t = 3c$$: $$v(3) = 4 \cdot 3^3 - 4 \cdot 3 = 4 \cdot 27 - 12 = 108 - 12 = 96$$

Ответ: скорость точки в момент времени t = 3c равна 96 м/с.

Задание 5

Дана функция $$y = 0.5x^4 - 4x^2$$.

а) Промежутки возрастания и убывания функции:

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции, найдем ее производную и определим знаки производной.

$$y' = (0.5x^4 - 4x^2)' = 2x^3 - 8x = 2x(x^2 - 4) = 2x(x - 2)(x + 2)$$

Найдем нули производной: $$2x(x - 2)(x + 2) = 0$$. Отсюда $$x = 0, x = 2, x = -2$$.

Определим знаки производной на промежутках: $$(-\infty; -2), (-2; 0), (0; 2), (2; +\infty)$$.

• На $$(-\infty; -2)$$ производная отрицательна, функция убывает.
• На $$(-2; 0)$$ производная положительна, функция возрастает.
• На $$(0; 2)$$ производная отрицательна, функция убывает.
• На $$(2; +\infty)$$ производная положительна, функция возрастает.

б) Точки экстремума:

Точки экстремума - это точки, в которых производная меняет знак. В нашем случае это $$x = -2, x = 0, x = 2$$.

в) Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-1, 3]:

Найдем значения функции на концах отрезка и в точках экстремума, принадлежащих отрезку.

$$y(-1) = 0.5(-1)^4 - 4(-1)^2 = 0.5 - 4 = -3.5$$

$$y(0) = 0.5(0)^4 - 4(0)^2 = 0$$

$$y(2) = 0.5(2)^4 - 4(2)^2 = 0.5 \cdot 16 - 4 \cdot 4 = 8 - 16 = -8$$

$$y(3) = 0.5(3)^4 - 4(3)^2 = 0.5 \cdot 81 - 4 \cdot 9 = 40.5 - 36 = 4.5$$

Наибольшее значение функции на отрезке [-1, 3] равно 4.5, наименьшее значение равно -8.