Задание 2: Найдите производные функций: a) y = x sin x; б) y = ctgx/x; в) y = (2x - 3)⁵.

Выполняю задание. Задание 2: Найдите производные функций. а) y = x sin x

1. Используем правило произведения: $$(uv)' = u'v + uv'$$
2. В нашем случае: $$u = x, v = sin x$$
3. Производные: $$u' = 1, v' = cos x$$
4. Тогда: $$y' = 1 cdot sin x + x cdot cos x = sin x + x cos x$$

б) y = ctgx / x

1. Используем правило частного: $$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$
2. В нашем случае: $$u = ctg x, v = x$$
3. Производные: $$u' = -\frac{1}{sin^2x}, v' = 1$$
4. Тогда: $$y' = \frac{-\frac{1}{sin^2x} cdot x - ctg x cdot 1}{x^2} = \frac{-\frac{x}{sin^2x} - ctg x}{x^2} = -\frac{x + ctg x cdot sin^2x}{x^2 sin^2x}$$

в) y = (2x - 3)⁵

1. Используем правило цепной функции: $$(f(g(x)))' = f'(g(x)) cdot g'(x)$$
2. В нашем случае: $$f(u) = u^5, g(x) = 2x - 3$$
3. Производные: $$f'(u) = 5u^4, g'(x) = 2$$
4. Тогда: $$y' = 5(2x - 3)^4 cdot 2 = 10(2x - 3)^4$$