Контрольные задания > ЗАДАНИЕ №3 Найдите значение выражения (ответ запишите в виде дроби): $(1,6)^2 \div (\frac{12}{25} + \frac{7}{15}) \cdot \frac{2}{29} = $ ЗАДАНИЕ №4 В равностороннем треугольнике со стороной 4 провели отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой, делящей противоположную сторону в отношении 2: 1. Найдите длину этого отрезка. $a =$ ЗАДАНИЕ №5 Две окружности пересекаются в точках А и В. Проведены хорды АС и AD этих окружностей так, что хорда одной окружности касается другой окружности. Найдите АВ, если СВ = 6, DB = 4. $AB =$
Вопрос:

ЗАДАНИЕ №3 Найдите значение выражения (ответ запишите в виде дроби): $$(1,6)^2 \div (\frac{12}{25} + \frac{7}{15}) \cdot \frac{2}{29} = $$ ЗАДАНИЕ №4 В равностороннем треугольнике со стороной 4 провели отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой, делящей противоположную сторону в отношении 2: 1. Найдите длину этого отрезка. $$a =$$ ЗАДАНИЕ №5 Две окружности пересекаются в точках А и В. Проведены хорды АС и AD этих окружностей так, что хорда одной окружности касается другой окружности. Найдите АВ, если СВ = 6, DB = 4. $$AB =$$

Ответ:

  1. ЗАДАНИЕ №3
  2. Представим 1,6 как $$\frac{16}{10} = \frac{8}{5}$$. Возведем в квадрат: $$(\frac{8}{5})^2 = \frac{64}{25}$$
  3. Приведем дроби в скобках к общему знаменателю: $$\frac{12}{25} + \frac{7}{15} = \frac{12 \cdot 3 + 7 \cdot 5}{75} = \frac{36 + 35}{75} = \frac{71}{75}$$
  4. Выполним деление: $$\frac{64}{25} \div \frac{71}{75} = \frac{64}{25} \cdot \frac{75}{71} = \frac{64 \cdot 3}{71} = \frac{192}{71}$$
  5. Выполним умножение: $$\frac{192}{71} \cdot \frac{2}{29} = \frac{192 \cdot 2}{71 \cdot 29} = \frac{384}{2059}$$
  6. Ответ: $$\frac{384}{2059}$$
  1. ЗАДАНИЕ №4
  2. Пусть дан равносторонний треугольник $$ABC$$ со стороной $$AB = BC = CA = 4$$.
  3. Точка $$D$$ делит сторону $$BC$$ в отношении $$2:1$$, значит, $$BD = \frac{2}{3} BC = \frac{2}{3} \cdot 4 = \frac{8}{3}$$, а $$DC = \frac{1}{3} BC = \frac{1}{3} \cdot 4 = \frac{4}{3}$$.
  4. Нужно найти длину отрезка $$AD = a$$.
  5. Воспользуемся теоремой косинусов для треугольника $$ABD$$: $$AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2 \cdot AB \cdot BD \cdot \cos(\angle B)$$
  6. Т.к. треугольник равносторонний, то $$\angle B = 60^\circ$$, и $$\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$$.
  7. Тогда $$AD^2 = 4^2 + (\frac{8}{3})^2 - 2 \cdot 4 \cdot \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{2} = 16 + \frac{64}{9} - \frac{32}{3} = \frac{16 \cdot 9 + 64 - 32 \cdot 3}{9} = \frac{144 + 64 - 96}{9} = \frac{112}{9}$$
  8. $$AD = \sqrt{\frac{112}{9}} = \frac{\sqrt{112}}{3} = \frac{\sqrt{16 \cdot 7}}{3} = \frac{4\sqrt{7}}{3}$$
  9. Ответ: $$a = \frac{4\sqrt{7}}{3}$$
  1. ЗАДАНИЕ №5
  2. По теореме о касательной и секущей: $$AB^2 = DB \cdot BC$$
  3. $$AB^2 = 4 \cdot 6 = 24$$
  4. $$AB = \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$$
  5. Ответ: $$AB = 2\sqrt{6}$$
Смотреть решения всех заданий с листа
Подать жалобу Правообладателю