Задание 3* В прямоугольнике ABCD AD = 2АВ. На стороне ВС отметили точку М так, что ZAMB = ∠AMD. Найдите эти углы.

Пусть дан прямоугольник $$ABCD$$, в котором $$AD = 2AB$$. На стороне $$BC$$ отмечена точка $$M$$ так, что $$\angle AMB = \angle AMD$$. Необходимо найти эти углы. Так как $$ABCD$$ - прямоугольник, то $$AB = CD$$ и $$AD = BC$$. Обозначим $$AB = a$$, тогда $$AD = 2a$$. Пусть $$\angle AMB = \angle AMD = x$$. Проведем перпендикуляр $$MH$$ на сторону $$AD$$. Тогда $$MH = AB = a$$. Рассмотрим треугольник $$ABM$$. В нем $$\angle ABM = 90^\circ$$. Рассмотрим треугольник $$MHD$$. В нем $$\angle MHD = 90^\circ$$. Так как $$\angle AMB = \angle AMD$$, то точка $$M$$ равноудалена от точек $$B$$ и $$D$$. Пусть $$BM = y$$, тогда $$MC = 2a - y$$. Рассмотрим треугольник $$ABM$$: $$AM^2 = AB^2 + BM^2 = a^2 + y^2$$. Рассмотрим треугольник $$CDM$$: $$DM^2 = CD^2 + CM^2 = a^2 + (2a - y)^2 = a^2 + 4a^2 - 4ay + y^2 = 5a^2 - 4ay + y^2$$. По условию $$\angle AMB = \angle AMD$$. Это возможно, когда точка $$M$$ является серединой $$BC$$, то есть $$BM = MC = a$$. Тогда треугольник $$ABM$$ - равнобедренный прямоугольный, следовательно, $$\angle AMB = 45^\circ$$. Если $$\angle AMB = 45^\circ$$, то $$\angle AMD = 45^\circ$$.

Ответ: $$\angle AMB = \angle AMD = 45^\circ$$.