Задания для занятия 1. $$AB = CD = 15$$, $$P_{ABCD} = ?$$ 2. $$P_{MKEF} = 30$$, $$KR = ?$$ 3. $$QR = SM = 8$$, $$SM = QR = ?$$ 4. $$MF = 2NE$$, $$NE = MF = ?$$ 5. $$P_{ABCD} = 36$$, $$AB = ?$$ 6. $$SQ = TR = 20$$, $$ST = MN = ?$$ 7. $$\angle FEM = 150^\circ$$, $$AB = ?$$ 8. $$SK = 8$$, $$RT = EF = ?$$

Решим задачи по геометрии по порядку: 1. Дана равнобедренная трапеция $$ABCD$$, где $$AB = CD = 15$$. Средняя линия $$MN = 25$$. Необходимо найти периметр трапеции $$ABCD$$. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то есть $$MN = \frac{AD + BC}{2}$$. Следовательно, $$AD + BC = 2 \cdot MN = 2 \cdot 25 = 50$$. Периметр трапеции равен сумме всех её сторон: $$P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD = 15 + BC + 15 + AD = 30 + (AD + BC) = 30 + 50 = 80$$. Ответ: $$P_{ABCD} = \textbf{80}$$. 2. Дана трапеция $$MKEF$$, в которую вписана окружность. $$P_{MKEF} = 30$$. Необходимо найти $$KR$$. По свойству описанного четырёхугольника, суммы противоположных сторон равны. Следовательно, $$MK + EF = KE + MF$$. Периметр трапеции $$MKEF$$ равен $$MK + KE + EF + MF = 30$$. Так как $$MK + EF = KE + MF$$, то $$2(KE + MF) = 30$$, откуда $$KE + MF = 15$$. $$KR$$ является радиусом окружности, вписанной в трапецию. Поскольку в трапецию вписана окружность, высота трапеции равна диаметру этой окружности, т.е. $$2KR$$. Высота также равна полусумме боковых сторон, т.е. $$\frac{KE+MF}{2} = \frac{15}{2} = 7.5$$. Значит, $$2KR = 7.5$$, откуда $$KR = 3.75$$. Ответ: $$KR = \textbf{3.75}$$. 3. Дана равнобедренная трапеция $$SMQR$$, где $$QR = SM = 8$$. Средняя линия $$EF = 20$$. Необходимо найти $$SM$$ и $$QR$$. В данной задаче уже указано, что $$QR = SM = 8$$. Однако, если предположить, что надо найти основания, то: Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то есть $$EF = \frac{SM + QR}{2}$$. Следовательно, $$SM + QR = 2 \cdot EF = 2 \cdot 20 = 40$$. Т.к. трапеция равнобедренная, то $$SM = QR$$. Значит, $$SM = QR = \frac{40}{2} = 20$$. Ответ: $$SM = QR = \textbf{20}$$. 4. Дана трапеция $$MNEF$$, где $$MF = 2NE$$. Средняя линия $$KL = 30$$. Необходимо найти $$NE$$ и $$MF$$. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то есть $$KL = \frac{NE + MF}{2}$$. Следовательно, $$NE + MF = 2 \cdot KL = 2 \cdot 30 = 60$$. Так как $$MF = 2NE$$, то $$NE + 2NE = 60$$, откуда $$3NE = 60$$, следовательно, $$NE = 20$$. Тогда $$MF = 2 \cdot NE = 2 \cdot 20 = 40$$. Ответ: $$NE = \textbf{20}$$, $$MF = \textbf{40}$$. 5. Дана равнобедренная трапеция $$ABCD$$, где $$P_{ABCD} = 36$$. Средняя линия $$EF = 10$$. Необходимо найти $$AB$$. Периметр трапеции равен сумме всех её сторон: $$P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD = 36$$. Так как трапеция равнобедренная, $$AB = CD$$. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то есть $$EF = \frac{AD + BC}{2}$$. Следовательно, $$AD + BC = 2 \cdot EF = 2 \cdot 10 = 20$$. $$P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD = 2AB + (AD + BC) = 36$$. Значит, $$2AB + 20 = 36$$, откуда $$2AB = 16$$, следовательно, $$AB = 8$$. Ответ: $$AB = \textbf{8}$$. 6. Дана трапеция $$SQTR$$, где $$SQ = TR = 20$$. $$\angle Q = 60^\circ$$. Необходимо найти $$ST$$ и $$MN$$, где $$MN$$ - средняя линия. Трапеция равнобедренная, $$SQ = TR$$. Опустим высоты $$SA$$ и $$TB$$ на основание $$QR$$. Тогда $$AQ = BR$$. В прямоугольном треугольнике $$SQA$$: $$\angle SQA = 60^\circ$$, $$SQ = 20$$. $$AQ = SQ \cdot \cos{60^\circ} = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10$$. $$QR = ST + 2AQ$$, т.е. $$QR = ST + 20$$. Чтобы найти $$ST$$ и $$MN$$, необходимо больше данных. 7. Дана прямоугольная трапеция $$AKMB$$, где $$\angle FEM = 150^\circ$$, $$FE = 4$$. Необходимо найти $$AB$$. Угол $$FEM$$ - внешний угол треугольника $$AEB$$. Так как сумма смежных углов равна $$180^\circ$$, то $$\angle AEB = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$. В прямоугольном треугольнике $$AFE$$, $$FE = 4$$. Пусть $$AE = x$$. Тогда, т.к. $$AF = AB$$, а $$AF$$ - катет, прилежащий к углу $$30^\circ$$, $$AF = AE \cdot \cos{30^\circ} = x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$. Чтобы найти $$AB$$, нужно больше данных. 8. Дана трапеция $$RQST$$, где $$SK = 8$$, $$\angle R = \angle T = 45^\circ$$. Необходимо найти $$RT$$ и $$EF$$, где $$EF$$ - высота. Трапеция равнобедренная, т.к. углы при основании равны. Опустим высоты $$SE$$ и $$TF$$ на основание $$RT$$. Тогда $$RE = FT$$. В прямоугольном треугольнике $$SER$$: $$\angle R = 45^\circ$$, $$SK = 8$$. $$RE = SK = 8$$. $$RT = SK + 2RE = 10 + 2 \cdot 8 = 10 + 16 = 26$$. Чтобы найти $$EF$$, нужно больше данных.