Задания для занятия 1. AB = CD = 15, PABCD - ? 2. PMNEF = 30, KR - ? 3. QR = SM = 8, SM, QR - ? 4. MF = 2 NE, NE, MF - ? 5. PABCD = 36, AB - ? 6. SQ = TR = 20, ST, MN - ? 7. \angle FEM = 150°, AB - ? 8. SK = 8, RT, EF - ?

Решаю задачи по геометрии. 1. Дана равнобедренная трапеция ABCD, где AB = CD = 15, MN - средняя линия, MN = 25. Необходимо найти периметр трапеции PABCD. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то есть: $$MN = \frac{BC + AD}{2}$$ $$25 = \frac{BC + AD}{2}$$ $$BC + AD = 50$$ Периметр трапеции равен сумме всех сторон: $$P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD$$ $$P_{ABCD} = 15 + BC + 15 + AD$$ $$P_{ABCD} = 30 + (BC + AD)$$ $$P_{ABCD} = 30 + 50 = 80$$ Ответ: 80 2. Дана трапеция MNEF, в которую вписана окружность. P MNEF = 30. Найти KR. В трапецию можно вписать окружность, если сумма ее оснований равна сумме боковых сторон. Тогда: $$PMNEF = MN + NE + EF + MF = 30$$ Так как в трапецию вписана окружность, то MN + EF = NE + MF. Следовательно, NE + MF = 15. KR - радиус вписанной окружности, он равен половине высоты, которая в свою очередь равна NE/2, так как NE = MF. $$KR = \frac{NE}{2}$$ Чтобы найти KR, нужно найти NE. $$NE = \frac{15}{2} = 7.5$$ $$KR = \frac{7.5}{2} = 3.75$$ Ответ: 3.75 3. Дана равнобедренная трапеция SMQR, где QR = SM = 8, EF - средняя линия, EF = 20. Найти SQ. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то есть: $$EF = \frac{SM + QR}{2}$$ В трапеции SMQR, SQ и MR – основания, QR и SM – боковые стороны. $$20 = \frac{SQ + MR}{2}$$ $$SQ + MR = 40$$ Так как трапеция равнобедренная, то SQ = MR. $$2SQ = 40$$ $$SQ = 20$$ Ответ: 20 4. Дана трапеция MNEF, где MF = 2NE, KL - средняя линия, KL = 30. Найти NE, MF. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то есть: $$KL = \frac{NE + MF}{2}$$ $$30 = \frac{NE + MF}{2}$$ $$NE + MF = 60$$ Так как MF = 2NE: $$NE + 2NE = 60$$ $$3NE = 60$$ $$NE = 20$$ $$MF = 2NE = 2 \cdot 20 = 40$$ Ответ: NE = 20, MF = 40 5. Дана равнобедренная трапеция ABCD, PABCD = 36, EF - средняя линия, EF = 10. Найти AB. Периметр трапеции равен сумме всех сторон: $$P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD = 36$$ В равнобедренной трапеции боковые стороны равны, то есть AB = CD. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $$EF = \frac{BC + AD}{2} = 10$$ $$BC + AD = 20$$ $$AB + CD + BC + AD = 36$$ $$AB + AB + 20 = 36$$ $$2AB = 16$$ $$AB = 8$$ Ответ: 8 6. Дана равнобедренная трапеция SQTR, где SQ = TR = 20, ST = 10, \angle MQR = 60°. Найти ST и MN (среднюю линию). В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Опустим высоту из точки S на QR, получим точку K. Рассмотрим треугольник SKQ. Он прямоугольный, \angle SKQ = 90°, \angle MQR = 60°, следовательно, \angle KSQ = 30°. $$QK = \frac{SQ}{2} = \frac{20}{2} = 10$$ Так как трапеция равнобедренная, то QK = LR = 10. $$QR = QK + KL + LR = 10 + 10 + 10 = 30$$ Найдем среднюю линию MN: $$MN = \frac{ST + QR}{2} = \frac{10 + 30}{2} = \frac{40}{2} = 20$$ Ответ: ST = 10, MN = 20 7. Дана трапеция AEFM, где \angle FEM = 150°, EF = 4. Найти AB. К сожалению, недостаточно данных для решения этой задачи. Необходимо знать дополнительные углы или стороны. 8. Дана прямоугольная трапеция SKTF, где SK = 8, \angle R = 45°, \angle T = 45°, SQ = 10. Найти RT и EF. Рассмотрим треугольник SRK. Он прямоугольный, \angle SRK = 45°, следовательно, \angle RSK = 45°. Значит, треугольник SRK равнобедренный, и RK = SK = 8. Рассмотрим треугольник TQF. Он прямоугольный, \angle TFQ = 45°, следовательно, \angle TQF = 45°. Значит, треугольник TQF равнобедренный, и TF = QF. $$RT = RK + KT$$ $$KT = SQ = 10$$ $$RT = 8 + 10 = 18$$ Так как трапеция прямоугольная, то EF = KT = 10. Ответ: RT = 18, EF = 10