ГДЗ по геометрии 7 класс Атанасян ФГОС Задание 891

 

\[\boxed{\mathbf{891.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]

\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[ABCD - четырехугольник;\]

\[AE,\ BE - биссектрисы;\]

\[E \in CD.\]

\[\mathbf{Доказать:}\]

\[CD = BC + AD.\]

\[\mathbf{Доказательство.}\]

\[1)\ Проведем\ MK \parallel AB,\ M \in AD,\]

\[K \in BC,\ E \in MK.\]

\[2)\ \angle MEA = \frac{1}{2}\angle A\ \]

\[(как\ накрестлежащие):\]

\[\mathrm{\Delta}AME - равнобедренный \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow \ ME = MA.\]

\[3)\ \angle KEB =\]

\[= \frac{1}{2}\angle B\ (как\ накрестлежащие):\]

\[\mathrm{\Delta}BKE - равнобедренный \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow KE = KB.\]

\[4)\ ABCD - вписанный\ \]

\[четырехугольник:\]

\[\angle AME = 180{^\circ} - 2 \bullet \frac{1}{2}\angle A =\]

\[= 180{^\circ} - \angle A = \angle C.\]

\[5)\ \mathrm{\Delta}DME\sim\mathrm{\Delta}KCE\ \]

\[(по\ двум\ углам).\]

\[6)\ E - точка\ пересечения\ \]

\[биссектрис,\ она\ равноудалена\ \]

\[от\ \text{AD\ }и\ BC:\ \]

\[в\ \mathrm{\Delta}\text{DME\ }и\ \mathrm{\Delta}KCE\ высоты\ равны;\]

\[\mathrm{\Delta}DME = \mathrm{\Delta}KCE\]

\[Отсюда:\]

\[DE = KE;\ \]

\[ME = CE;\ \]

\[DM = KC.\]

\[7)\ CD = CE + DE = ME + KE =\]

\[= MA + BK =\]

\[= (AD + DM) + (BC - KC) =\]

\[= AD + BC + (DM - KC) =\]

\[= AD + BC.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[\boxed{\mathbf{891.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]

\[Доказательство.\]

\[Пусть\ точки\ A_{1};B_{1};C_{1}\ \]

\[принадлежат\ одной\ прямой\ \text{a.}\]

\[Опустим\ из\ вершин\ \]

\[треугольника\ ABC\ \]

\[перпендикуляры\ AA^{'};BB^{'};CC^{'}\]

\[на\ эту\ прямую.\]

\[⊿AC_{1}A'\ подобен\ ⊿BC_{1}B':\]

\[\frac{AC_{1}}{C_{1}B} = \frac{AA'}{BB'}.\]

\[Аналогичным\ образом\ \]

\[доказывается,\ что\]

\[\frac{BA_{1}}{A_{1}C} = \frac{BB^{'}}{CC^{'}};\ \ \frac{CB_{1}}{B_{1}A} = \frac{CC^{'}}{AA^{'}}.\]

\[Перемножив\ равенства,\]

\[\ получим:\]

\[\frac{A_{1}C}{C_{1}B} \cdot \frac{BA_{1}}{A_{1}C} \cdot \frac{CB_{1}}{B_{1}A} = 1.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]