ГДЗ по геометрии 8 класс Атанасян Задание 1307

\[\boxed{\mathbf{1307.ОК\ ГДЗ - домашка\ н}а\ 5}\]

\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]

\[Дано:\]

\[куб\ \text{ABCD}A_{1}B_{1}C_{1}D_{1};\]

\[AB = a.\]

\[Доказать:\]

\[существует\ сквозное\ отверстие\ \]

\[со\ стороной\ a.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ Рассмотрим\ проекцию\ куба\ \]

\[на\ плоскасть,\ \]

\[перпендикулярную\ его\ \]

\[диагонали.\]

\[Получаем\ шестиугольник.\ \]

\[Обозначим\ его\ сторону\ AB = b.\]

\[2)\ По\ теореме\ косинусов\ \]

\[\left( из\ \mathrm{\Delta}ABA_{1} \right):\]

\[A_{1}B^{2} = \left( a\sqrt{2} \right)^{2} =\]

\[= b^{2} + b^{2} - 2b^{2}\cos 120^{0} = 3b^{2}\]

\[b^{2} = \frac{2}{3}a\]

\[b = \frac{\sqrt{6}}{3}\text{a.}\]

\[3)\ Радиус\ окружности,\ \]

\[вписанной\ в\ шистиугольник:\]

\[r = R \cdot cos30^{0} = \frac{\sqrt{6}}{3}a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} =\]

\[= \frac{a\sqrt{2}}{2}.\]

\[Это - половина\ диагонали\ \]

\[грани\ куба.\ \ \]

\[Если\ разместить\ квадратное\ \]

\[отверстие\ со\ стороной\ a\ \]

\[параллельно\ стороне\ \]

\[шестиугольника\ проекции,\ как\ \]

\[показано\ на\ рисунке,то\ другой\ \]

\[такой\ же\ куб\ пройдет\ через\ это\ \]

\[отверстие.\]

\[Докажем,\ что\ OC > OB.\]

\[В\ \mathrm{\Delta}AOC:\]

\[OA = \frac{\sqrt{6}}{3}a;\ \]

\[\angle CAO = 90^{0};\]

\[\angle COA = 45^{0};\]

\[\ \angle ACO = 180^{0} - 135^{0} = 35^{0}.\]

\[\frac{\text{OA}}{\sin 35^{0}} = \frac{\text{OC}}{\sin 60^{0}}\]

\[OC = OA\frac{\sin 60^{0}}{\sin 35^{0}} =\]

\[= \frac{\sqrt{6}}{3}a \cdot \frac{a\sqrt{2}}{\underset{= OB}{\overset{2}{︸}}} \cdot (\frac{1}{\underset{> 1}{\overset{\sin 35^{0}}{︸}}} > OB.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]