Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
Русский
История
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаГДЗ по геометрии 8 класс Атанасян Задание 832
Задание 832
\[\boxed{\mathbf{832.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[ABCD - параллелограмм;\]
\[P;Q;R;T - середины\ сторон\]
\[AB;BC;CD;DA.\]
\[E = AQ \cap DF;\]
\[F = BR \cap AQ;\]
\[G = CT \cap BR;\]
\[H = DP \cap CT.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[EFGH - параллелограмм.\]
\[Найти:\ \]
\[\frac{S_{\text{EFGH}}}{S_{\text{ABCD}}}.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ \ \mathrm{\Delta}ABQ = \mathrm{\Delta}CDT - по\ первому\ \]
\[признаку\ равенства\ \]
\[треугольников:\ \]
\[AB = CD;\ \ \]
\[BQ = DT = \frac{1}{2}AD;\ \]
\[\angle B = \angle D.\]
\[Значит:\]
\[\angle BQA = \angle DTC.\]
\[2)\ \angle BQA = \angle DTC;\ \ AD \parallel BC;\ \ \]
\[AQ - секущая:\]
\[\ \angle BQA = \angle DAQ - как\ накрест\ \]
\[лежащие.\]
\[Отсюда:\ \]
\[\angle DTC = \angle DAQ.\]
\[3)\ \angle DTC =\]
\[= \angle DAQ\ (соответственные);\]
\[AD - секущая:\]
\[AQ \parallel TC.\]
\[4)\ \mathrm{\Delta}BCR = \mathrm{\Delta}DAP - по\ первому\ \]
\[признаку\ равенства\ \]
\[треугольников:\]
\[BC = DA;\ \ \]
\[CR = AP = \frac{1}{2}AB;\ \]
\[\angle A = \angle C.\]
\[Отсюда:\ \]
\[\angle APD = \angle ABR.\]
\[5)\ \angle APD =\]
\[= \angle ABR\ (как\ соответственные);\ \]
\[AB - секущая:\]
\[BR \parallel PQ.\]
\[Получаем:\]
\[AQ \parallel TC;\ \ BR \parallel PQ;\ \ \]
\[E = \ AQ \cap DF;F = BR \cap AQ;\]
\[G = CT \cap BR;\ H = DP \cap CT.\]
\[Следовательно:\ \]
\[EFGH - параллелограмм.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\ \]
\[Найдем\ соотношение\ \]
\[площадей.\]
\[1)\ \frac{S_{\text{AQCT}}}{S_{\text{ABCD}}} = \frac{\text{AT}}{\text{AD}} = \frac{1}{2};\ \ \ \]
\[\frac{S_{\text{PBRD}}}{S_{\text{ABCD}}} = \frac{\text{PB}}{\text{AB}} = \frac{1}{2}.\]
\[2)\ \mathrm{\Delta}\ DHT\sim DEA:\]
\[\frac{\text{DT}}{\text{DA}} = \frac{1}{2};\ \ \ \]
\[\frac{S_{\text{DHT}}}{S_{\text{DEA}}} = \frac{1}{4};\ \]
\[S_{\text{AEHT}} = S_{\text{DEA}} - S_{\text{DHT}} = 3S_{\text{DHT}}.\]
\[3)\ S_{\text{EFGH}} = S_{\text{AQCT}} - 6S_{\text{DHT}} =\]
\[= \frac{1}{2}S_{\text{ABCD}} - 6S_{\text{DHT}}.\]
\[4)\ Выразим\ эту\ же\ площадь\ \]
\[через\ параллелограмм\ PBRD:\ \ \]
\[S_{\text{EFGH}} = S_{\text{PBRD}} - 6S_{\text{APE}} =\]
\[= \frac{1}{2}S_{\text{ABCD}} - 6S_{\text{APE}}.\]
\[5)\ Следовательно:\]
\[S_{\text{DHT}} = S_{\text{APE}};\ \ \ \]
\[S_{\text{APD}} = S_{\text{APE}} + S_{\text{DEA}} =\]
\[= S_{\text{DHT}} + 4S_{\text{DHT}} = 5S_{\text{DHT}};\]
\[S_{\text{APD}} = \frac{1}{4}S_{\text{ABCD}} = 5S_{\text{DHT}};\ \ \]
\[S_{\text{DHT}} = \frac{1}{2}S_{\text{ABCD}}.\]
\[6)\ Нужное\ отношение:\]
\[S_{\text{EFGH}} = S_{\text{AQCT}} - 6S_{\text{DHT}} =\]
\[= \left( \frac{1}{2} - \frac{6}{20} \right) \bullet S_{\text{ABCD}} = 0,2S_{\text{ABCD}} =\]
\[= \frac{1}{5}S_{\text{ABCD}}\ \]
\[\frac{S_{\text{EFGH}}}{S_{\text{ABCD}}} = \frac{1}{5}.\]
\[Ответ:\ \ \frac{S_{\text{EFGH}}}{S_{\text{ABCD}}} = \frac{1}{5}.\]
