ГДЗ по геометрии 8 класс Атанасян Задание 893

\[\boxed{\mathbf{893.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]

\[1)\ Отобразим\ условие\ задачи\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[ABCD - четырехугольник.\]

\[\mathbf{Доказать:}\]

\[AC \bullet BD = AB \bullet CD + BC \bullet AD.\]

\[\mathbf{Доказательство.}\]

\[1)\ На\ диагонали\ \text{AC\ }отметим\ \]

\[точку\ E:\]

\[\angle ABE = \angle DBC.\]

\[2)\ \angle ABE = \angle DBC\ и\ \]

\[\angle BAE = \angle BCD = \frac{1}{2} \cup BC:\]

\[\mathrm{\Delta}ABE\sim\mathrm{\Delta}DBC\ (по\ двум\ углам).\]

\[Отсюда:\]

\[\frac{\text{AB}}{\text{BD}} = \frac{\text{AE}}{\text{CD}}\]

\[AB \bullet CD = AE \bullet BD.\]

\[3)\ \angle BCE = \angle BDA = \frac{1}{2} \cup AB\ и\ \]

\[\angle EBC = \angle ABD =\]

\[= \angle ABE + \angle EBD:\]

\[\mathrm{\Delta}BCE\sim\mathrm{\Delta}BDA\ (по\ двум\ углам).\]

\[Отсюда:\]

\[\frac{\text{BC}}{\text{BD}} = \frac{\text{CE}}{\text{AD}}\]

\[BC \bullet AD = CE \bullet BD.\]

\[4)\ Сумма\ двух\ равенств:\]

\[AB \bullet CD + BC \bullet AD =\]

\[= AE \bullet BD + CE \bullet BD\]

\[AB \bullet CD + BC \bullet AD =\]

\[= (AE + CE) \bullet BD\]

\[AB \bullet CD + BC \bullet AD = AC \bullet BD.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]