Вопрос:

Докажите, что: (x+1/y)(y+1/x)>=4, если x>0, y>0.

Ответ:

\[\left( x + \frac{1}{y} \right)\left( y + \frac{1}{x} \right) \geq 4;\ \ \ \ x > 0;\ \ \]

\[y > 0\]

\[\left( \frac{xy + 1}{y} \right) \cdot \left( \frac{xy + 1}{x} \right) - 4 \geq 0\]

\[\frac{(xy + 1)^{2} - 4xy}{\text{xy}} \geq 0\]

\[\frac{x^{2}y^{2} + 2xy + 1 - 4xy}{\text{xy}} \geq 0\]

\[\frac{(xy - 1)^{2}}{\text{xy}} \geq 0 \Longrightarrow верно.\]

\[(xy - 1)^{2} \geq 0\ \ всегда;\ \ \ \]

\[xy > 0 - из\ условия.\]

Докажите, что: (a+6)(b+3)(c+2)>=48*корень из (abc), если a>=0, b>=0, c>=0.
Докажите, что: (a+b)(1/a+1/b)>=4, если a>0, b>0.
Докажите, что: (a-1)^3-4(a-1)=(a-1)(a+1)(a-3).
Докажите, что: (a-b)(a+b)((a-b)^2+(a+b)^2)=2(a^4-b^4).
Докажите, что: (x+1)(y+2)(z+8)>=32*корень из (xyz), если x>=0, y>=0, z>=0.
Докажите, что: (x-3y)(x+3y)+(3y-c)(3y+c)+(c-x)(c+x)=0.
Докажите, что: (x^2+1)^2-4x^2=(x-1)^2(x+1)^2.
Докажите, что: 4b^2c^2-(b^2+c^2+a^2)^2=(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a).
Докажите, что: ab(a+b)<=a^3+b^3, если a>=0, b>=0.
Докажите, что: a^3-b^3>=ab(b-a), если a>=b.