а) Пусть \(t=\lg x\). Тогда \(t^2-t=2\), то есть \((t-2)(t+1)=0\). Получаем \(t=2\) или \(t=-1\), поэтому \(x=100\) или \(x=0{,}1\).

б) Пусть \(y=3^x\), тогда \(9^x=y^2\), а \(3^{x-2}=\frac{y}{9}\). Получаем \(y^2-\frac{8y}{9}=3\), или \(9y^2-8y-27=0\). Положительный корень: \(y=\frac{4+\sqrt{259}}{9}\). Следовательно, \(x=\log_3\left(\frac{4+\sqrt{259}}{9}\right)\).

в) Область определения: \(x>0\), \(x\ne1\). Пусть \(t=\log_2 x\), тогда \(\log_x4=\frac{2}{t}\). Из \(t-\frac{2}{t}=3\) получаем \(t^2-3t-2=0\), поэтому \(t=\frac{3\pm\sqrt{17}}{2}\). Значит, \(x=2^{\frac{3+\sqrt{17}}{2}}\) или \(x=2^{\frac{3-\sqrt{17}}{2}}\).

г) Положим \(t=\log_2(5x-1)\). Тогда \(\log_5(5x-1)=\frac{t}{\log_2 5}\), а уравнение принимает вид \(\frac{t}{\log_2 5}-\frac{3}{t-1}=0\). Отсюда \(t(t-1)=3\log_2 5\). С учётом области определения подходит положительный корень \(t=\frac{1+\sqrt{1+12\log_2 5}}{2}\). Поэтому \(x=\frac{2^t+1}{5}\).

д) Пусть \(y=5^x\), где \(y>0\). Тогда \(y-\frac{6}{y}=3{,}8\), то есть \(5y^2-19y-30=0\). Корни: \(5\) и \(-\frac65\); условию \(y>0\) соответствует \(y=5\). Следовательно, \(x=1\).

Ответ: а) 0,1; 100; б) \(\log_3\left(\frac{4+\sqrt{259}}{9}\right)\); в) \(2^{\frac{3+\sqrt{17}}{2}}\), \(2^{\frac{3-\sqrt{17}}{2}}\); г) \(\frac{2^t+1}{5}\), где \(t=\frac{1+\sqrt{1+12\log_2 5}}{2}\); д) 1.

Поделись с друзьями