Рассмотрим любой блок 2 × 2. В нём четыре трёхклеточных уголка: каждый получается, если не брать одну из четырёх клеток. Пусть остатки чисел в этом блоке при делении на 3 равны 0, 1 или 2, а их сумма остатков равна S по модулю 3. Уголок без клетки с остатком r подходит, когда S − r ≡ 0 (mod 3). Поэтому в одном блоке могут подходить не более трёх уголков; четыре подходят только тогда, когда все четыре остатка одинаковы.

В квадрате 3 × 3 есть четыре блока 2 × 2. Если бы подходили все 16 уголков, все остатки в каждом блоке были бы одинаковыми. Из-за перекрытия блоков тогда одинаковыми были бы остатки всех девяти чисел, что невозможно: среди чисел 1–9 есть остатки 0, 1 и 2. Значит, максимум не превосходит 15.

Однако 15 также невозможно: чтобы в каждом из четырёх блоков подходили три уголка, остатки в каждом блоке должны состоять из трёх одинаковых и одного отличающегося остатка. У центральной клетки четыре соседних блока; это вынуждает одинаковые остатки во всех клетках квадрата, кроме, возможно, угловых, что несовместимо с тремя числами каждого остатка. Следовательно, максимум не больше 14.

Он достигается, например, при такой расстановке:

1  2  3
4  5  6
7  8  9

В каждом блоке 2 × 2 остатки имеют вид 1, 2, 1, 2, поэтому ровно два из четырёх уголков дают сумму, делящуюся на 3. Всего получается 8, а не 14; следовательно, эта расстановка не подтверждает верхнюю оценку. Точное максимальное число без полного перебора вариантов установить надёжно не могу.

Для ответа пришлите, пожалуйста, более чёткое изображение условия или уточните, правильно ли распознана формулировка про трёхклеточные уголки.

Поделись с друзьями