Решение:

Определим координаты вершин треугольника ABC, приняв левый нижний угол сетки за начало координат (0,0).
\( A = (1, 1) \)
\( B = (4, 3) \)
\( C = (4, 0) \)
Найдем длины сторон треугольника.
\( AB = \sqrt{(4-1)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \)
\( AC = \sqrt{(4-1)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \)
\( BC = \sqrt{(4-4)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{0^2 + (-3)^2} = \sqrt{9} = 3 \)
Используем теорему о биссектрисе угла треугольника: биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Пусть точка пересечения биссектрисы с BC — D. Тогда \( \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{10}} \).
Так как \( BD + DC = BC = 3 \), то \( BD = 3 \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13} + \sqrt{10}} \) и \( DC = 3 \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{13} + \sqrt{10}} \).
Используем формулу длины биссектрисы: \( l_a = \sqrt{AB \cdot AC - BD \cdot DC} \).
\( l_a = \sqrt{\sqrt{13} \cdot \sqrt{10} - \left(3 \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13} + \sqrt{10}}\right) \cdot \left(3 \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{13} + \sqrt{10}}\right)} \)
\( l_a = \sqrt{\sqrt{130} - \frac{9 \sqrt{130}}{(\sqrt{13} + \sqrt{10})^2}} \)
\( l_a = \sqrt{\sqrt{130} \left(1 - \frac{9}{(\sqrt{13} + \sqrt{10})^2}\right)} \)
\( (\sqrt{13} + \sqrt{10})^2 = 13 + 2\sqrt{130} + 10 = 23 + 2\sqrt{130} \)
\( l_a = \sqrt{\sqrt{130} \left(1 - \frac{9}{23 + 2\sqrt{130}}\right)} = \sqrt{\sqrt{130} \left(\frac{23 + 2\sqrt{130} - 9}{23 + 2\sqrt{130}}\right)} = \sqrt{\sqrt{130} \left(\frac{14 + 2\sqrt{130}}{23 + 2\sqrt{130}}\right)} \)
*Альтернативный способ:* Можно построить биссектрису на клетчатой бумаге и измерить её длину. Приблизительная длина биссектрисы А из вершины А составляет около 3.5 клеток.
*Точное решение через координаты:*
\( A = (1,1), B = (4,3), C = (4,0) \)
Уравнение прямой AB: \( y - 1 = \frac{3-1}{4-1}(x - 1) \) → \( y - 1 = \frac{2}{3}(x - 1) \) → \( 3y - 3 = 2x - 2 \) → \( 2x - 3y + 1 = 0 \)
Уравнение прямой AC: \( y - 1 = \frac{0-1}{4-1}(x - 1) \) → \( y - 1 = -\frac{1}{3}(x - 1) \) → \( 3y - 3 = -x + 1 \) → \( x + 3y - 4 = 0 \)
Уравнение биссектрисы угла A (с учетом знаков, так как точка B выше C относительно A):
\( \frac{|2x - 3y + 1|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}} = \frac{|x + 3y - 4|}{\sqrt{1^2 + 3^2}} \)
\( \frac{|2x - 3y + 1|}{\sqrt{13}} = \frac{|x + 3y - 4|}{\sqrt{10}} \)
Поскольку нас интересует биссектриса внутри треугольника, нам нужно учесть знаки выражений \( 2x - 3y + 1 \) и \( x + 3y - 4 \) для точек внутри треугольника. Возьмем точку \( (2,1) \) (внутри треугольника): \( 2(2) - 3(1) + 1 = 4 - 3 + 1 = 2 > 0 \) и \( 2 + 3(1) - 4 = 2 + 3 - 4 = 1 > 0 \).
Значит, \( \frac{2x - 3y + 1}{\sqrt{13}} = \frac{x + 3y - 4}{\sqrt{10}} \)
\( \sqrt{10}(2x - 3y + 1) = \sqrt{13}(x + 3y - 4) \)
\( 2\sqrt{10}x - 3\sqrt{10}y + \sqrt{10} = \sqrt{13}x + 3\sqrt{13}y - 4\sqrt{13} \)
\( (2\sqrt{10} - \sqrt{13})x - (3\sqrt{10} + 3\sqrt{13})y + (\sqrt{10} + 4\sqrt{13}) = 0 \)
Найдем точку D на стороне BC (прямая x=4). Подставим x=4 в уравнение биссектрисы:
\( (2\sqrt{10} - \sqrt{13})4 - (3\sqrt{10} + 3\sqrt{13})y + (\sqrt{10} + 4\sqrt{13}) = 0 \)
\( 8\sqrt{10} - 4\sqrt{13} - (3\sqrt{10} + 3\sqrt{13})y + \sqrt{10} + 4\sqrt{13} = 0 \)
\( 9\sqrt{10} - (3\sqrt{10} + 3\sqrt{13})y = 0 \)
\( y_D = \frac{9\sqrt{10}}{3\sqrt{10} + 3\sqrt{13}} = \frac{3\sqrt{10}}{\sqrt{10} + \sqrt{13}} \)
\( y_D = \frac{3\sqrt{10}(\sqrt{13} - \sqrt{10})}{13 - 10} = \frac{3\sqrt{130} - 30}{3} = \sqrt{130} - 10 \)
\( \sqrt{130} \approx 11.4 \)
\( y_D \approx 11.4 - 10 = 1.4 \)
Значит, точка D имеет координаты \( (4, \sqrt{130} - 10) \)
Теперь найдем длину биссектрисы AD.
\( AD = \sqrt{(4-1)^2 + ((\sqrt{130}-10)-1)^2} \)
\( AD = \sqrt{3^2 + (\sqrt{130}-11)^2} = \sqrt{9 + (130 - 22\sqrt{130} + 121)} \)
\( AD = \sqrt{9 + 251 - 22\sqrt{130}} = \sqrt{260 - 22\sqrt{130}} \)
\( \sqrt{260 - 22\sqrt{130}} \approx \sqrt{260 - 22 \cdot 11.4} = \sqrt{260 - 250.8} = \sqrt{9.2} \approx 3.03 \)

Ответ: \( \sqrt{260 - 22\sqrt{130}} \) (приблизительно 3.03).

Поделись с друзьями