10. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведена высота CD. Найдите величину угла А, если DB = 6, а BC =12.

Решение:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник BCD. Угол CDB прямой (90°), так как CD - высота.
2. В треугольнике BCD: \( \angle C = 90^{\circ}, \angle B \) (общий с \( \triangle ABC \)), \( \angle BDC = 90^{\circ} \).
3. По теореме Пифагора для \( \triangle BCD \): \( BC^2 = BD^2 + CD^2 \)
4. \( 12^2 = 6^2 + CD^2 \)
5. \( 144 = 36 + CD^2 \)
6. \( CD^2 = 144 - 36 = 108 \)
7. \( CD = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3} \)
8. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Угол C прямой (90°).
9. В \( \triangle ABC \): \( \angle C = 90^{\circ} \), \( \angle B \) (общий), \( \angle A \) (искомый).
10. Мы знаем прилежащий катет \( AC \) и противолежащий катет \( BC \), но \( AC \) нам неизвестен.
11. Мы знаем противолежащий катет \( BC = 12 \) и гипотенузу \( AB \). Гипотенуза \( AB = AD + DB \). Нам нужно найти \( AD \).
12. В \( \triangle ABC \), \( \angle B \) - общий. В \( \triangle BCD \), \( \angle B \) - общий.
13. В \( \triangle ABC \), \( \sin B = \frac{AC}{AB} \), \( \cos B = \frac{BC}{AB} \), \( \tan B = \frac{AC}{BC} \).
14. В \( \triangle BCD \), \( \sin B = \frac{CD}{BC} = \frac{6\sqrt{3}}{12} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
15. Так как \( \sin B = \frac{\sqrt{3}}{2} \), то \( \angle B = 60^{\circ} \).
16. Теперь найдем \( \angle A \) в \( \triangle ABC \).
17. \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ} \)
18. \( \angle A + 60^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ} \)
19. \( \angle A + 150^{\circ} = 180^{\circ} \)
20. \( \angle A = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ} \).
21. *Проверка:* В \( \triangle BCD \), \( \tan B = \frac{CD}{BD} = \frac{6\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3} \). Это также соответствует \( \angle B = 60^{\circ} \).

Ответ: 30°.