Так как M лежит на AB, а P — на CD, имеем AB = AM + MB и CD = CP + PD. По условию AM = CP и BM = DP, следовательно, AB = CD.

Аналогично, BC = BN + NC и DA = DQ + QA. Из BN = DQ и NC = QA следует BC = DA. Значит, у четырёхугольника ABCD обе пары противоположных сторон равны, поэтому ABCD — параллелограмм.

Обозначим через a длину AM, через b — BM, через c — BN, через d — NC. Тогда AB = CD = a + b, а BC = DA = c + d.

В параллелограмме ABCD противоположные стороны параллельны и равны. Пусть u и v — векторы единичной длины, направленные соответственно от A к B и от A к D. Тогда координатно-векторные записи точек относительно A имеют вид:

M = (a/(a+b))u, N = u + (c/(c+d))v, P = (1 − a/(a+b))u + v, Q = (1 − c/(c+d))v.

Следовательно, M + P = u + v и N + Q = u + v. Значит, диагонали MP и NQ имеют общий середину. Если диагонали четырёхугольника делятся пополам, он является параллелограммом.

Ответ: ABCD и MNPQ — параллелограммы.

Поделись с друзьями