380. На сторонах AB, BC, CD и DA четырёхугольника ABCD отмечены соответственно точки M, N, P и Q так, что AM = CP, BN = DQ, BM = DP, NC = QA. Докажите, что ABCD и MNPQ — параллелограммы.

Из равенств \(AM=CP\) и \(BM=DP\) получаем:

\[AB=AM+BM=CP+DP=CD.\]

Аналогично, из равенств \(BN=DQ\) и \(NC=QA\):

\[BC=BN+NC=DQ+QA=DA.\]

Итак, в четырёхугольнике \(ABCD\) противоположные стороны попарно равны:

\[AB=CD,\qquad BC=DA.\]

Следовательно, \(ABCD\) — параллелограмм.

Обозначим \(\dfrac{AM}{AB}=t\), а \(\dfrac{BN}{BC}=u\). Так как \(AB=CD\) и \(AM=CP\), то

\[\frac{AM}{AB}=\frac{CP}{CD}=t.\]

Поэтому точки \(M\) и \(P\) делят противоположные стороны параллелограмма одинаково, и

\[\vec{MP}=\vec{AD}=\vec{BC}.\]

Аналогично, из \(BN=DQ\), \(BC=DA\), а также \(NC=QA\), следует, что точки \(Na0и \(Q\) делят стороны \(BC\) и \(DA\) одинаково. Поэтому

\[\vec{MN}=\vec{PQ}.\]

Следовательно, в четырёхугольнике \(MNPQ\) противоположные стороны попарно параллельны:

\[MN\parallel PQ,\qquad NP\parallel MQ.\]

Значит, \(MNPQ\) — параллелограмм.

Ответ: \(ABCD\) и \(MNPQ\) — параллелограммы.