В условии на фото обрезана часть строки после слов «все ребра которой ра…». Решение ниже предполагает, что сказано «все рёбра равны»; также читается условие, что в четырёхугольник сечения можно вписать окружность.

а) Обозначим длину ребра основания через \(a\), а \(AK=x\). Тогда \(BK=a-x\). Сечение параллельно плоскости \(ASD\), поэтому его стороны, лежащие в гранях \(SAB\) и \(SCD\), параллельны соответственно \(AS\) и \(CD\); стороны в гранях основания параллельны \(AD\).

Пусть точки сечения на рёбрах \(SB\) и \(SC\) — соответственно \(P\) и \(Q\), а на \(CD\) — \(N\). Из параллельности сечения плоскости \(ASD\) и подобия соответствующих треугольников получаем пропорциональные отрезки. Условие, что в сечение можно вписать окружность, означает равенство сумм длин противоположных сторон; подстановка этих пропорций и упрощение даёт \(a-x=2x\). Следовательно, \(BK=2AK\).

б) При единичных рёбрах квадрат основания имеет сторону 1, а высота пирамиды равна

\(h=\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2}=\frac{1}{\sqrt2}\),

поскольку расстояние от центра квадрата до вершины основания равно \(\frac{\sqrt2}{2}\). Из пункта а) следует \(AK=\frac13\), если \(AB=1\).

Введём координаты: \(A=(0,0,0)\), \(B=(1,0,0)\), \(D=(0,1,0)\), \(S=(\frac12,\frac12,\frac{1}{\sqrt2})\). Нормаль к плоскости \(ASD\) можно взять \((\frac{1}{\sqrt2},0,-\frac12)\). Поэтому параллельная ей плоскость через \(K=(\frac13,0,0)\) задаётся уравнением

\(\frac{1}{\sqrt2}(x-\frac13)-\frac z2=0\).

Расстояние от \(S\) до этой плоскости равно

\(\frac{|\frac{1}{\sqrt2}(\frac12-\frac13)-\frac12\cdot\frac{1}{\sqrt2}|}{\sqrt{\frac12+\frac14}}=\frac{\sqrt6}{9}\).

Ответ: а) \(BK=2AK\); б) \(\frac{\sqrt6}{9}\).

Для строгого обоснования пункта а) нужна полностью видимая строка условия о сечении: на фото её продолжение обрезано.

Поделись с друзьями