Тип 14. а) Решите уравнение: 7^(2 cos x) = 49^(sin 2x). б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π; 5π/2].

а) Так как 49 = 7², получаем

\(7^{2\cos x}=7^{2\sin 2x}\). Поскольку основания равны и больше 1, приравниваем показатели: \(\cos x=\sin 2x=2\sin x\cos x\).

Переносим всё в одну сторону и выносим общий множитель:

\(\cos x(1-2\sin x)=0\).

Отсюда два случая:

1. \(\cos x=0\), поэтому \(x=\frac{\pi}{2}+\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).
2. \(1-2\sin x=0\), поэтому \(\sin x=\frac12\), откуда \(x=\frac{\pi}{6}+2\pi k\) или \(x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).

б) На отрезке \([\pi;\frac{5\pi}{2}]\) из первого семейства подходят \(\frac{3\pi}{2}\) и \(\frac{5\pi}{2}\). Из второго семейства подходит \(\frac{13\pi}{6}\); число \(\frac{17\pi}{6}\) уже больше правой границы.

Ответ: а) \(x=\frac{\pi}{2}+\pi k\), \(x=\frac{\pi}{6}+2\pi k\) или \(x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k\), \(k\in\mathbb Z\); б) \(\frac{3\pi}{2},\frac{13\pi}{6},\frac{5\pi}{2}\).