Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по геометрии 9 класс Атанасян ФГОС Задание 878
Задание 878
\[\boxed{\mathbf{878.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\left( O_{1};r_{1} \right) \cap \left( O_{2};r_{2} \right) = A\ и\ B;\]
\[O_{1}A\bot AC;\]
\[O_{2}B\bot BD;\]
\[AC\ и\ BD - касательные.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[\textbf{а)}\ AD \parallel BC;\]
\[\textbf{б)}\ AB^{2} = AD \bullet BC;\]
\[\textbf{в)}\ BD^{2}\ :AC^{2} = AD\ :BC.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[\textbf{а)}\ Рассмотрим\ углы\ между\ \]
\[хордами\ и\ касательными:\]
\[\angle CAB = \frac{1}{2} \cup AB\left( O_{1} \right) = \angle ADB;\]
\[\angle DBA = \frac{1}{2} \cup AB\left( O_{2} \right) = \angle BCA.\]
\[Следовательно:\]
\[\mathrm{\Delta}DAB\sim\mathrm{\Delta}ABC\ (по\ двум\ углам);\ \]
\[\angle DAB = \angle ABC\ и\ AB - секущая.\]
\[Значит:\ \ \]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\textbf{б)}\ \mathrm{\Delta}DAB\sim\mathrm{\Delta}ABC \Longrightarrow \frac{\text{AB}}{\text{BC}} = \frac{\text{AD}}{\text{AB}}.\]
\[Отсюда:\]
\[AB^{2} = AD \bullet BC.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\textbf{в)}\ \mathrm{\Delta}DAB\sim\mathrm{\Delta}ABC:\]
\[\frac{\text{BD}}{\text{AC}} = \frac{\text{AD}}{\text{AB}}\text{\ \ }и\ \frac{\text{BD}}{\text{AC}} = \frac{\text{AB}}{\text{BC}} \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow \frac{BD^{2}}{AC^{2}} = \frac{\text{AD}}{\text{AB}} \bullet \frac{\text{AB}}{\text{BC}} = \frac{\text{AD}}{\text{BC}},\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\boxed{\mathbf{878.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathrm{\Delta}ABC;\]
\[AC = 2BC;\]
\[CM - биссектрисса;\]
\[CK\bot CM;\]
\[K = CK \cap AB.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[S_{\text{BCM}} = \frac{1}{2}S_{\text{ACM}} = \frac{1}{2}S_{\text{CMK}}.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Пусть\ BC = a,\ AC = 2a.\]
\[У\ всех\ рассматриваемых\ \]
\[треугольников\ одна\ высота:\ \]
\[CH\bot AK.\ \]
\[Соотношение\ площадей\ \]
\[соответствует\ соотношению\ \]
\[оснований.\]
\[По\ теореме\ об\ отсекаемых\ \]
\[биссектрисой\ отрезках\]
\[\text{\ \ }(задача\ 535):\]
\[\frac{\text{AM}}{\text{BM}} = \frac{\text{AC}}{\text{BC}} = \frac{2}{1};\]
\[BM = \frac{1}{2}AM;\]
\[BM = \frac{1}{3}\text{AB.}\]
\[Получаем:\]
\[S_{\text{BCM}} = \frac{1}{2}S_{\text{ACM}} = \frac{1}{3}S_{\text{ABC}}.\]
\[По\ теореме\ о\ биссектрисе\ \]
\[внешнего\ угла\ (задача\ 619):\]
\[\frac{\text{BK}}{\text{BC}} = \frac{\text{AK}}{\text{AC}}\]
\[\frac{\text{BK}}{\text{AK}} = \frac{\text{BC}}{\text{AC}} = \frac{1}{2}.\]
\[Следовательно:\]
\[\ KM = BM + BK\]
\[KM = BM + AB = 4BM\ \]
\[BM = \frac{1}{4}\text{KM.}\]
\[Получаем:\]
\[S_{\text{BCM}} = \frac{1}{4}S_{\text{CMK}}\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
