Разложим знаменатель на множители. Найдем корни уравнения x² - x - 12 = 0.
Дискриминант D = (-1)² - 4(1)(-12) = 1 + 48 = 49.
x₁ = (1 - 7)/2 = -3
x₂ = (1 + 7)/2 = 4
Значит, x² - x - 12 = (x - 4)(x + 3).
Теперь исходное неравенство выглядит так:
(x+1)(x-4) / ((x-4)(x+3)) > 0
Сократим (x-4), при условии, что x ≠ 4:
(x+1) / (x+3) > 0
Найдем корни числителя и знаменателя:
x + 1 = 0 => x = -1
x + 3 = 0 => x = -3
Отметим на числовой прямой корни -3, -1, и учтем, что x ≠ 4.
Интервалы: (-∞; -3), (-3; -1), (-1; 4), (4; +∞)
Определим знаки на интервалах:
При x = -4: (-4+1)/(-4+3) = -3/-1 = 3 (знак '+')
При x = -2: (-2+1)/(-2+3) = -1/1 = -1 (знак '-')
При x = 0: (0+1)/(0+3) = 1/3 (знак '+')
При x = 5: (5+1)/(5+3) = 6/8 = 3/4 (знак '+')
Нам нужно, чтобы дробь была > 0. Это соответствует интервалам (-∞; -3), (-1; 4), (4; +∞).
Учитывая, что x ≠ 4, получаем:
(-∞; -3) ∪ (-1; 4) ∪ (4; +∞)

Ответ: (-∞; -3) ∪ (-1; 4) ∪ (4; +∞)

Поделись с друзьями