Краткое пояснение:

Для решения логарифмического неравенства, мы должны учесть область допустимых значений (аргумент логарифма больше нуля) и затем преобразовать неравенство, используя свойства логарифмов.

Пошаговое решение:

Область допустимых значений (ОДЗ): Аргумент логарифма должен быть больше нуля: \( x^2 - x - 12 > 0 \). Разложим квадратный трехчлен на множители: \( (x-4)(x+3) > 0 \). Это неравенство выполняется при \( x < -3 \) или \( x > 4 \).
Преобразуем неравенство: Представим 3 как логарифм по основанию 2: \( 3 = \log_2(2^3) = \log_2(8) \).
Применим свойства логарифмов: Наше неравенство теперь выглядит так: \( \log_2(x^2 - x - 12) < \log_2(8) \). Поскольку основание логарифма (2) больше 1, мы можем убрать логарифмы, сохранив знак неравенства: \( x^2 - x - 12 < 8 \).
Решим полученное квадратное неравенство: \( x^2 - x - 20 < 0 \). Разложим на множители: \( (x-5)(x+4) < 0 \). Это неравенство выполняется при \( -4 < x < 5 \).
Учтем ОДЗ: Теперь нам нужно найти пересечение решений из шага 1 (\( x < -3 \) или \( x > 4 \)) и шага 4 (\( -4 < x < 5 \)).
Пересечение: Интервалы \( (-4, -3) \) и \( (4, 5) \) являются решением.

Ответ: (-4, -3) ∪ (4, 5)

Поделись с друзьями