1) Используем \(\cos^2 x=1-\sin^2 x\):

\(2(1-\sin^2 x)-\sin x+1=0\), поэтому \(2\sin^2 x+\sin x-3=0\).

Корни уравнения относительно \(\sin x\): \(1\) и \(-\frac32\). Второй не подходит, поскольку \(|\sin x|\leq1\). Значит, \(\sin x=1\), откуда \(x=\frac{\pi}{2}+2\pi k\).

2) Подставим \(\cos^2 x=1-\sin^2 x\):

\(3(1-\sin^2 x)-\sin x-1=0\), то есть \(3\sin^2 x+\sin x-2=0\).

Разложение на множители: \((3\sin x-2)(\sin x+1)=0\). Поэтому \(\sin x=\frac23\) или \(\sin x=-1\).

Отсюда \(x=(-1)^k\arcsin\frac23+\pi k\) или \(x=\frac{3\pi}{2}+2\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).

3) Используем \(\sin^2 x=1-\cos^2 x\):

\(4(1-\cos^2 x)-\cos x-1=0\), откуда \(4\cos^2 x+\cos x-3=0\).

Корни: \(\cos x=\frac34\) или \(\cos x=-1\). Следовательно, \(x=\pm\arccos\frac34+2\pi k\) или \(x=\pi+2\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).

4) Подставим \(\sin^2 x=1-\cos^2 x\):

\(2(1-\cos^2 x)+3\cos x=0\), поэтому \(2\cos^2 x-3\cos x-2=0\).

Корни: \(\cos x=2\) и \(\cos x=-\frac12\). Корень \(2\) не подходит. Из \(\cos x=-\frac12\) получаем \(x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k\) или \(x=\frac{4\pi}{3}+2\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).

Ответ: 1) \(x=\frac{\pi}{2}+2\pi k\); 2) \(x=(-1)^k\arcsin\frac23+\pi k\) или \(x=\frac{3\pi}{2}+2\pi k\); 3) \(x=\pm\arccos\frac34+2\pi k\) или \(x=\pi+2\pi k\); 4) \(x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k\) или \(x=\frac{4\pi}{3}+2\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).

Поделись с друзьями