Привет! Давай решим это неравенство.

Дано: \[ \frac{x-4}{3} \cdot \frac{x}{2} > 5 \]
Решение:
1. Шаг 1: Перемножим дроби в левой части.
2. \[ \frac{(x-4)x}{3 \times 2} > 5 \]
3. \[ \frac{x^2 - 4x}{6} > 5 \]
4. Шаг 2: Умножим обе части неравенства на 6, чтобы избавиться от знаменателя. Так как 6 — положительное число, знак неравенства не меняется.
5. \[ x^2 - 4x > 30 \]
6. Шаг 3: Перенесем 30 в левую часть, чтобы получить квадратное неравенство.
7. \[ x^2 - 4x - 30 > 0 \]
8. Шаг 4: Найдем корни квадратного уравнения \[ x^2 - 4x - 30 = 0 \]. Используем формулу дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac \] Здесь a=1, b=-4, c=-30.
9. \[ D = (-4)^2 - 4(1)(-30) = 16 + 120 = 136 \]
10. \[ \sqrt{D} = \sqrt{136} = \sqrt{4 \times 34} = 2\sqrt{34} \]
11. Найдем корни:
12. \[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 2\sqrt{34}}{2} = 2 - \sqrt{34} \]
13. \[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 2\sqrt{34}}{2} = 2 + \sqrt{34} \]
14. Шаг 5: Теперь определим интервалы на числовой оси, которые задают корни \[ 2 - \sqrt{34} \approx 2 - 5.83 = -3.83 \] и \[ 2 + \sqrt{34} \approx 2 + 5.83 = 7.83 \].
15. Интервалы: \[(-\infty, 2 - \sqrt{34}), (2 - \sqrt{34}, 2 + \sqrt{34}), (2 + \sqrt{34}, \infty)\].
16. Шаг 6: Нам нужно, чтобы \[ x^2 - 4x - 30 > 0 \]. Так как коэффициент при \[x^2 \] положительный (равен 1), ветви параболы направлены вверх. Значит, неравенство будет строго больше нуля вне интервала между корнями.

Ответ: \[ x < 2 - \sqrt{34} \quad \text{или} \quad x > 2 + \sqrt{34} \]

Поделись с друзьями