3) (x-4)²≥2(x+4)(x-4)

Привет! Давай разберемся с этим неравенством.

1. Дано: \[(x - 4)^2 \ge 2(x + 4)(x - 4) \]
2. Решение:
   1. Шаг 1: Перенесем всё в одну часть, чтобы сравнить с нулем.
   2. \[(x - 4)^2 - 2(x + 4)(x - 4) \ge 0 \]
   3. Шаг 2: Вынесем общий множитель \[(x - 4)\].
   4. \[(x - 4) [(x - 4) - 2(x + 4)] \ge 0 \]
   5. Шаг 3: Раскроем скобки во второй части выражения.
   6. \[(x - 4) [x - 4 - 2x - 8] \ge 0 \]
   7. Шаг 4: Упростим выражение во второй скобке.
   8. \[(x - 4) [-x - 12] \ge 0 \]
   9. Шаг 5: Умножим вторую скобку на -1, чтобы коэффициент при 'x' стал положительным. Не забываем поменять знак неравенства на противоположный.
   10. \[(x - 4) (x + 12) \le 0 \]
   11. Шаг 6: Теперь найдем корни этого квадратного неравенства. Корни — это значения x, при которых выражение равно нулю: x = 4 и x = -12.
   12. Шаг 7: Эти корни делят числовую ось на три интервала: \[(-\infty, -12], [-12, 4], [4, \infty)\].
   13. Шаг 8: Проверим знак выражения \[(x - 4)(x + 12) \le 0 \] в каждом интервале:
       • При x < -12 (например, x = -13): (-13 - 4)(-13 + 12) = (-17)(-1) = 17 > 0
       • При -12 < x < 4 (например, x = 0): (0 - 4)(0 + 12) = (-4)(12) = -48 < 0
       • При x > 4 (например, x = 5): (5 - 4)(5 + 12) = (1)(17) = 17 > 0
   14. Шаг 9: Нам нужно, чтобы выражение было меньше или равно нулю (≤ 0). Это происходит в интервале от -12 до 4.

Ответ: -12 ≤ x ≤ 4