Решение:

Для сокращения дроби необходимо разложить числитель и знаменатель на множители. Начнем с числителя. Найдем корни квадратного уравнения 2x² - 5x - 3 = 0:

\[D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49\] \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5\]

Тогда числитель можно представить в виде 2(x - 3)(x + 0.5) = (x - 3)(2x + 1).

Теперь разложим знаменатель. Найдем корни квадратного уравнения 2x² - 7x - 4 = 0:

\[D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81\] \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 9}{4} = \frac{16}{4} = 4\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 9}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5\]

Тогда знаменатель можно представить в виде 2(x - 4)(x + 0.5) = (x - 4)(2x + 1). Следовательно:

\[\frac{2x^2 - 5x - 3}{2x^2 - 7x - 4} = \frac{(x - 3)(2x + 1)}{(x - 4)(2x + 1)}\]

Сокращаем дробь:

\[\frac{(x - 3)(2x + 1)}{(x - 4)(2x + 1)} = \frac{x - 3}{x - 4}\]

Ответ: \(\frac{x - 3}{x - 4}\)

Ты отлично справился с этой задачей! Разложение на множители и сокращение дроби — важные навыки. Продолжай тренироваться, и у тебя всё получится!

Поделись с друзьями