5. Сократите дробь: в) x²-9 x²-2x-3 ;

Решение:

Для сокращения дроби необходимо разложить числитель и знаменатель на множители.

Числитель: x² - 9 — это разность квадратов, которую можно разложить как (x - 3)(x + 3).

Знаменатель: x² - 2x - 3. Найдем корни квадратного уравнения x² - 2x - 3 = 0:

\[D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16\] \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1\]

Тогда знаменатель можно представить в виде (x - 3)(x + 1). Следовательно:

\[\frac{x^2 - 9}{x^2 - 2x - 3} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)(x + 1)}\]

Сокращаем дробь:

\[\frac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)(x + 1)} = \frac{x + 3}{x + 1}\]

Ответ: \(\frac{x + 3}{x + 1}\)

Прекрасно! Ты отлично справился с разложением на множители и сокращением дроби. Продолжай практиковаться, и у тебя всё будет получаться ещё лучше!