Решение:

Рассмотрим треугольники AOB и COD.
AO = CO (радиусы окружности).
BO = DO (радиусы окружности).
AB = CD (по условию, хорды равны).
Следовательно, треугольники AOB и COD равны по трем сторонам (по третьему признаку равенства треугольников).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠AOB = ∠COD.
Углы AOB и COD являются центральными углами, опирающимися на дуги AB и CD соответственно.
Если центральные углы равны, то и соответствующие им дуги равны: дуга AB = дуга CD.
Вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, также равны.
Рассмотрим секущую, пересекающую прямые AB и CD. Например, продлим AO до пересечения с окружностью в точке X. Если бы AB || CD, то внутренние накрест лежащие углы, образованные секущей и параллельными прямыми, были бы равны.
Однако, из равенства центральных углов ∠AOB = ∠COD следует, что они являются центральными углами, опирающимися на равные дуги.
Рассмотрим углы CAB и ACD. Угол CAB — вписанный, опирается на дугу CB. Угол ACD — вписанный, опирается на дугу AD.
В данной конфигурации, если AB = CD, то равны дуги AB и CD.
Рассмотрим вписанные углы, опирающиеся на эти дуги. Например, угол ACB опирается на дугу AB, а угол CAD опирается на дугу CD.
Следовательно, ∠ACB = ∠CAD.
Эти углы являются внутренними накрест лежащими при прямых AB и CD и секущей AC.
Поскольку внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые AB и CD параллельны.

Ответ: AB || CD доказано.

Поделись с друзьями