16. Дано: AB = CD. Доказать: OK = OP.

Решение:

• Рассмотрим треугольники OAK и OCP.
• OA = OC (радиусы окружности).
• Углы AKA и CPC прямые (по условию OK ⊥ AB и OP ⊥ CD).
• Так как AB = CD (по условию) и OK и OP — перпендикуляры, опущенные из центра окружности на хорды, то эти перпендикуляры делят хорды пополам.
• Следовательно, AK = KB = CP = PD.
• Рассмотрим треугольники OKA и OPC.
• OA = OC (радиусы).
• AK = CP (половины равных хорд).
• Углы OKA и OPC равны 90 градусов.
• По теореме Пифагора в прямоугольных треугольниках: OK^2 = OA^2 - AK^2 и OP^2 = OC^2 - CP^2.
• Так как OA = OC и AK = CP, то OA^2 = OC^2 и AK^2 = CP^2.
• Следовательно, OA^2 - AK^2 = OC^2 - CP^2, что означает OK^2 = OP^2.
• Из этого следует, что OK = OP.

Ответ: OK = OP доказано.