Пусть задуманное двузначное число состоит из цифр \( x \) (десятки) и \( y \) (единицы). Само число можно представить как \( 10x + y \).

По условию:

Вторая цифра (единицы) на 2 больше первой (десятки): \( y = x + 2 \).
При перестановке цифр получается число \( 10y + x \).
Сумма квадратов задуманного числа и числа с переставленными цифрами равна 1130: \( (10x + y)^2 + (10y + x)^2 = 1130 \).

Шаг 1: Подставляем выражение для \( y \) в уравнение.

Заменим \( y \) на \( x + 2 \) в уравнении:

\[ (10x + (x+2))^2 + (10(x+2) + x)^2 = 1130 \]

\[ (11x + 2)^2 + (10x + 20 + x)^2 = 1130 \]

\[ (11x + 2)^2 + (11x + 20)^2 = 1130 \]

Шаг 2: Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые.

Раскрываем квадраты:

\[ (121x^2 + 44x + 4) + (121x^2 + 440x + 400) = 1130 \]

Складываем подобные члены:

\[ 242x^2 + 484x + 404 = 1130 \]

Переносим 1130 в левую часть:

\[ 242x^2 + 484x + 404 - 1130 = 0 \]

\[ 242x^2 + 484x - 726 = 0 \]

Шаг 3: Упрощаем уравнение, разделив на 242.

Заметим, что все коэффициенты делятся на 242 (242, 484 = 2*242, 726 = 3*242).

\[ x^2 + 2x - 3 = 0 \]

Шаг 4: Решаем полученное квадратное уравнение.

Можно решить с помощью дискриминанта или разложением на множители. Разложим на множители:

\[ (x + 3)(x - 1) = 0 \]

Возможные значения \( x \): \( x = -3 \) или \( x = 1 \).

Шаг 5: Выбираем подходящее значение \( x \) и находим \( y \).

Поскольку \( x \) — это цифра двузначного числа, оно должно быть положительным и от 1 до 9. Следовательно, \( x = 1 \).

Теперь находим \( y \), используя условие \( y = x + 2 \):

\[ y = 1 + 2 = 3 \]

Шаг 6: Формируем задуманное число.

Число состоит из цифр \( x = 1 \) (десятки) и \( y = 3 \) (единицы). Задуманное число — \( 13 \).

Шаг 7: Проверяем условие.

Задуманное число: \( 13 \).

Число с переставленными цифрами: \( 31 \).

Сумма квадратов: \( 13^2 + 31^2 = 169 + 961 = 1130 \).

Условие выполняется.

Ответ: 13.

Поделись с друзьями