Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Задание 6. Поиск двузначного числа
Пусть задуманное двузначное число состоит из цифр \( x \) (десятки) и \( y \) (единицы). Само число можно представить как \( 10x + y \).
По условию:
- Вторая цифра (единицы) на 2 больше первой (десятки): \( y = x + 2 \).
- При перестановке цифр получается число \( 10y + x \).
- Сумма квадратов задуманного числа и числа с переставленными цифрами равна 1130: \( (10x + y)^2 + (10y + x)^2 = 1130 \).
Шаг 1: Подставляем выражение для \( y \) в уравнение.
Заменим \( y \) на \( x + 2 \) в уравнении:
\[ (10x + (x+2))^2 + (10(x+2) + x)^2 = 1130 \]
\[ (11x + 2)^2 + (10x + 20 + x)^2 = 1130 \]
\[ (11x + 2)^2 + (11x + 20)^2 = 1130 \]
Шаг 2: Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые.
Раскрываем квадраты:
\[ (121x^2 + 44x + 4) + (121x^2 + 440x + 400) = 1130 \]
Складываем подобные члены:
\[ 242x^2 + 484x + 404 = 1130 \]
Переносим 1130 в левую часть:
\[ 242x^2 + 484x + 404 - 1130 = 0 \]
\[ 242x^2 + 484x - 726 = 0 \]
Шаг 3: Упрощаем уравнение, разделив на 242.
Заметим, что все коэффициенты делятся на 242 (242, 484 = 2*242, 726 = 3*242).
\[ x^2 + 2x - 3 = 0 \]
Шаг 4: Решаем полученное квадратное уравнение.
Можно решить с помощью дискриминанта или разложением на множители. Разложим на множители:
\[ (x + 3)(x - 1) = 0 \]
Возможные значения \( x \): \( x = -3 \) или \( x = 1 \).
Шаг 5: Выбираем подходящее значение \( x \) и находим \( y \).
Поскольку \( x \) — это цифра двузначного числа, оно должно быть положительным и от 1 до 9. Следовательно, \( x = 1 \).
Теперь находим \( y \), используя условие \( y = x + 2 \):
\[ y = 1 + 2 = 3 \]
Шаг 6: Формируем задуманное число.
Число состоит из цифр \( x = 1 \) (десятки) и \( y = 3 \) (единицы). Задуманное число — \( 13 \).
Шаг 7: Проверяем условие.
Задуманное число: \( 13 \).
Число с переставленными цифрами: \( 31 \).
Сумма квадратов: \( 13^2 + 31^2 = 169 + 961 = 1130 \).
Условие выполняется.
Ответ: 13.
