1. Вычислить

Используем формулу синуса разности: \(\sin 15^\circ=\sin(45^\circ-30^\circ)\).
\[\sin 15^\circ=\sin45^\circ\cos30^\circ-\cos45^\circ\sin30^\circ=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}.\]
По формуле косинуса суммы:
\[\sin^2 15^\circ-\cos^2 15^\circ=-\cos30^\circ=-\frac{\sqrt3}{2}.\]
Применим формулу синуса суммы:
\[\sin\frac{\pi}{12}\cos\frac{11\pi}{12}+\cos\frac{\pi}{12}\sin\frac{11\pi}{12}=\sin\left(\frac{\pi}{12}+\frac{11\pi}{12}\right)=\sin\pi=0.\]

2. Упростить

Представим косинус как синус: \(\cos(\frac{\pi}{3}+\alpha)=\sin(\frac{5\pi}{6}+\alpha)\).

\[\sin\left(\frac\pi6+\alpha\right)+\sin\left(\frac{5\pi}6+\alpha\right)=2\sin\left(\frac\pi2+\alpha\right)\cos\frac\pi3=\cos\alpha.\]

3. Найти \(\cos(\frac\pi4-\alpha)\)

Так как \(\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}\), угол находится в III четверти, поэтому \(\sin\alpha<0\).

\[\sin\alpha=-\sqrt{1-\cos^2\alpha}=-\sqrt{1-\frac{25}{169}}=-\frac{12}{13}.\]

\[\cos\left(\frac\pi4-\alpha\right)=\cos\frac\pi4\cos\alpha+\sin\frac\pi4\sin\alpha=\frac{\sqrt2}{2}\left(-\frac5{13}\right)+\frac{\sqrt2}{2}\left(-\frac{12}{13}\right)=-\frac{17\sqrt2}{26}.\]

Ответ: 1) \(\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\); \(\displaystyle -\frac{\sqrt3}{2}\); \(0\). 2) \(\cos\alpha\). 3) \(\displaystyle -\frac{17\sqrt2}{26}\).

Поделись с друзьями