Вариант 2. 1) Вычислить: 1) cos 75°; 2) sin 20° cos 50° − cos 20° sin 50°; 3) cos(2π/7) cos(5π/7) − sin(2π/7) sin(5π/7). 2) Упростить: sin(π/4 + α) + sin(π/4 − α). 3) Зная, что sin α = −9/41, 3π/2 < α < 2π, найдите sin(π/3 − α).

1. Вычислить

1. Используем формулу косинуса разности: \(\cos75^\circ=\cos(45^\circ+30^\circ)=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\).
2. По формуле синуса разности: \(\sin20^\circ\cos50^\circ-\cos20^\circ\sin50^\circ=\sin(20^\circ-50^\circ)=\sin(-30^\circ)=-\frac12\).
3. По формуле косинуса суммы: \(\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{5\pi}{7}-\sin\frac{2\pi}{7}\sin\frac{5\pi}{7}=\cos\left(\frac{2\pi}{7}+\frac{5\pi}{7}\right)=\cos\pi=-1\).

Ответ: 1) \(\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\); 2) \(-\frac12\); 3) \(-1\).

2. Упростить

По формуле суммы синусов:

\(\sin\left(\frac\pi4+\alpha\right)+\sin\left(\frac\pi4-\alpha\right)=2\sin\frac\pi4\cos\alpha=\sqrt2\cos\alpha\).

Ответ: \(\sqrt2\cos\alpha\).

3. Найти \(\sin\left(\frac\pi3-\alpha\right)\)

Так как \(\frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi\), угол \(\alpha\) находится в IV четверти, поэтому \(\cos\alpha>0\).

\(\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\frac{81}{1681}}=\frac{40}{41}\).

По формуле синуса разности:

\(\sin\left(\frac\pi3-\alpha\right)=\sin\frac\pi3\cos\alpha-\cos\frac\pi3\sin\alpha\)

\(=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{40}{41}-\frac12\cdot\left(-\frac9{41}\right)=\frac{40\sqrt3+9}{82}\).

Ответ: \(\frac{40\sqrt3+9}{82}\).