Вариант 1. 1) Вычислить: 1) sin 15°; 2) sin 15° sin 15° − cos 15° cos 15°; 3) sin(π/12) cos(11π/12) + cos(π/12) sin(11π/12). 2) Упростить: sin(π/6 + α) + cos(π/3 + α). 3) Зная, что cos α = −5/13, π < α < 3π/2, найдите cos(π/4 − α).

1. Вычислить

1. Используем формулу синуса разности: \(\sin 15^\circ=\sin(45^\circ-30^\circ)=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\).
2. \(\sin^2 15^\circ-\cos^2 15^\circ=-\cos 30^\circ=-\frac{\sqrt3}{2}\).
3. По формуле синуса суммы: \(\sin\frac{\pi}{12}\cos\frac{11\pi}{12}+\cos\frac{\pi}{12}\sin\frac{11\pi}{12}=\sin\left(\frac{\pi}{12}+\frac{11\pi}{12}\right)=\sin\pi=0\).

Ответ: 1) \(\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\); 2) \(-\frac{\sqrt3}{2}\); 3) \(0\).

2. Упростить

Раскроем скобки:

\(\sin\left(\frac\pi6+\alpha\right)=\frac12\cos\alpha+\frac{\sqrt3}{2}\sin\alpha\),

\(\cos\left(\frac\pi3+\alpha\right)=\frac12\cos\alpha-\frac{\sqrt3}{2}\sin\alpha\).

Складывая, получаем: \(\cos\alpha\).

Ответ: \(\cos\alpha\).

3. Найти \(\cos\left(\frac\pi4-\alpha\right)\)

Так как \(\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}\), угол \(\alpha\) находится в III четверти, поэтому \(\sin\alpha<0\).

\(\sin\alpha=-\sqrt{1-\cos^2\alpha}=-\sqrt{1-\frac{25}{169}}=-\frac{12}{13}\).

По формуле косинуса разности:

\(\cos\left(\frac\pi4-\alpha\right)=\cos\frac\pi4\cos\alpha+\sin\frac\pi4\sin\alpha\)

\(=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\left(-\frac5{13}\right)+\frac{\sqrt2}{2}\cdot\left(-\frac{12}{13}\right)=-\frac{17\sqrt2}{26}\).

Ответ: \(-\frac{17\sqrt2}{26}\).