На рис. 27 AC проходит через центр O, поэтому AC — диаметр. Следовательно, вписанные углы, опирающиеся на AC, прямые:

\(\angle ABC=90^\circ\) и \(\angle ADC=90^\circ\).

В треугольнике ABC дано \(\angle BCA=30^\circ\), поэтому \(\angle BAC=60^\circ\).

По одинаковым засечкам на рисунке AB = AD. Равные хорды стягивают равные вписанные углы, поэтому \(\angle ACB=\angle ACD=30^\circ\).

В прямоугольном треугольнике ACD получаем \(\angle CAD=180^\circ-90^\circ-30^\circ=60^\circ\). Тогда

\(\angle BAD=\angle BAC+\angle CAD=60^\circ+60^\circ=120^\circ\).

Углы \(\angle ABC\) и \(\angle ADC\) — противоположные углы вписанного четырёхугольника, поэтому их сумма 180°. Для требуемого угла BCD используем сумму углов треугольника BCD: \(\angle CBD=\angle CBA-\angle DBA\), а исходный рисунок не задаёт дополнительных числовых углов между диагональю AC и BD. Однако по засечкам AB = AD и общему диаметру AC следует, что дуги AB и AD равны; вместе с \(\angle BCA=30^\circ\) это даёт \(\angle BDA=30^\circ\). Следовательно, \(\angle BDC=90^\circ-30^\circ=60^\circ\). Также \(\angle CBD\) не определяется отдельно из имеющихся данных, поэтому \(\angle BCD\) однозначно найти нельзя.

Ответ: \(\angle BAD=120^\circ\); для определения \(\angle BCD\) данных на рисунке недостаточно.

Поделись с друзьями