а) Нахождение ∠SOC

Так как окружность вписана в треугольник, точка O является центром вписанной окружности, а значит, SO, CO и PO являются биссектрисами углов треугольника.
SO — биссектриса ∠XSC.
CO — биссектриса ∠SCX.
PO — биссектриса ∠XSP.
В треугольнике SOC:

∠SCO = ∠SCP = 34° (так как CO - биссектриса ∠SCX).
∠SOC — искомый угол.
∠CSO = ∠XSC / 2.
∠OCS = ∠SCX / 2.
∠COS = ∠SCX / 2.
Угол ∠SOC является углом между биссектрисами углов ∠XSC и ∠SCX.
В треугольнике XSC: ∠SXС + ∠XSC + ∠SCX = 180°.
∠SOC = 180° - (∠CSO + ∠SCO) = 180° - (∠XSC/2 + ∠SCX/2).
∠SOC = 180° - (∠XSC + ∠SCX)/2.
Так как ∠XSC + ∠SCX = 180° - ∠SXС, то ∠SOC = 180° - (180° - ∠SXС)/2 = 180° - 90° + ∠SXС/2 = 90° + ∠SXС/2.
Угол ∠SCP = 34° - это часть угла ∠SCX.
Если ∠SCP = 34°, то ∠SCX = 2 * ∠SCP = 2 * 34° = 68° (если C - вершина).
Однако, на рисунке 1 O - центр окружности, S, P, K - точки касания. SC и XC - касательные.
SO ⊥ SC и KO ⊥ XK, PO ⊥ XP.
∠SOC = 180° - ∠SCX. (Это свойство четырехугольника, образованного точками S, O, C, P, если SP - хорда).
Если ∠SCP = 34°, то это угол, образованный касательной SC и хордой CP.
Угол между касательной и хордой равен половине дуги, которую они стягивают.
∠SCP = 34° => дуга SP = 2 * 34° = 68°.
Центральный угол ∠SOP = дуга SP = 68°.
∠SOC - это половина ∠SOP? Нет.
Рассмотрим треугольник SOC.
∠SCO - не биссектриса.
SC и CP - отрезки касательных, проведенных из точки C. Следовательно, SC = CP.
SO и PO - радиусы.
∠SOC - центральный угол.
∠SPC - вписанный угол, опирающийся на дугу SC.
∠SCO - не определен.
∠SOC?
Если ∠SCP = 34°, это угол между касательной SC и хордой CP.
Угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу.
∠SCP = 34° => дуга SP = 2 * ∠SCP = 68° (это неверно, 34° - это угол, а не вписанный угол).
Угол между касательной SC и хордой CP равен ∠CSP (если SP - хорда).
∠SCP = 34°. Это угол между касательной SC и хордой CP.
Хорда CP стягивает дугу CP. Центральный угол ∠COP = дуге CP.
Угол между касательной SC и хордой CP равен углу ∠CKP, где K - точка на окружности.
∠SOC - центральный угол.
∠SPC - вписанный угол.
∠SOC = 2 * ∠SPC.
∠SCP = 34°.
В четырехугольнике S O P C: ∠OSO = ∠OPO = 90°.
∠SOP + ∠SPC + ∠PCS + ∠CSO = 360°.
∠SOP + ∠SPC + ∠PCS + 90° + 90° = 360°.
∠SOP + ∠SPC + ∠PCS = 180°.
∠SCP = 34°.
Если SC и CP - касательные, то ∠SOP = 180° - ∠SCP = 180° - 34° = 146°.
∠SOC?
O - центр окружности. S и P - точки касания. C - точка вне окружности.
∠SOC - это угол между радиусами.
∠SCP = 34°.
SC и CP - касательные из точки C.
SO ⊥ SC, PO ⊥ CP.
В четырехугольнике SOPC: ∠OSO = ∠OPO = 90°.
Сумма углов четырехугольника = 360°.
∠SOP + ∠OSO + ∠SPC + ∠OCP = 360° (это неверно, ∠SPC и ∠OCP не являются углами четырехугольника).
Сумма углов четырехугольника SOPC: ∠SOP + ∠OSO + ∠SCP + ∠OPC = 360°.
∠SOP + 90° + 34° + 90° = 360°.
∠SOP + 214° = 360°.
∠SOP = 360° - 214° = 146°.
∠SOC?
S и P - точки касания. O - центр. C - точка.
∠SOC - это угол между радиусами SO и OC.
∠SCP = 34°.
∠SOC = 180° - ∠SCP = 180° - 34° = 146°.
Ответ: ∠SOC = 146°.

б) Нахождение периметра ΔXCA

SC, SK, AP, AC - касательные.
S, K, P - точки касания.
SC = 4 см.
XK = 2 см.
AP = 3 см.
Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.
Из точки S: SK = SP.
Из точки X: XK = XA.
Из точки C: CS = CP.
Из точки A: AP = AC.
По условию:

SC = 4 см => CP = 4 см.
XK = 2 см => XA = 2 см.
AP = 3 см => AC = 3 см.

Периметр ΔXCA = XA + AC + XC.
Мы знаем XA = 2 см и AC = 3 см.
Нужно найти XC.
XC = XK + KC.
Мы знаем XK = 2 см.
Нам нужно найти KC.
KC - это отрезок касательной из точки K.
K - точка касания.
S - точка касания.
X - точка, из которой проведены касательные XK и XA.
C - точка, из которой проведены касательные CS и CP.
A - точка, из которой проведены касательные AP и AC.
KC - ?
SC = 4 см.
CS = CP.
XK = 2 см.
XA = XK.
AP = 3 см.
AC = AP.
Периметр ΔXCA = XA + AC + XC.
XA = 2 см.
AC = 3 см.
XC = ?
KC - это отрезок касательной.
S - точка касания.
X - точка.
C - точка.
K - точка касания.
SC - касательная.
CS = 4 см.
XC - ?
XC = XA + AC.
XA = 2 см.
AC = 3 см.
XC = 2 + 3 = 5 см.
Периметр ΔXCA = XA + AC + XC = 2 + 3 + 5 = 10 см.
Проверка:
SC = 4.
XK = 2 => XA = 2.
AP = 3 => AC = 3.
XC = XA + AC = 2 + 3 = 5.
Периметр ΔXCA = XA + AC + XC = 2 + 3 + 5 = 10.
Ответ: Периметр ΔXCA = 10 см.

Поделись с друзьями