3. На рис. 2 окружность описана около прямоугольного треугольника. Найдите радиус окружности, если АС=4см, а угол ∠B=30° (чертеж, дано, решение с объяснениями).

Дано:

• Окружность описана около прямоугольного треугольника ABC.
• AC = 4 см.
• ∠B = 30°.

Найти:

• Радиус окружности (R).

Решение:

В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы.

Гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром описанной окружности.

В данном случае, так как треугольник прямоугольный, гипотенузой является сторона, противоположная прямому углу. Однако, в условии указано, что ∠B = 30°, а треугольник прямоугольный. Это означает, что либо ∠B не прямой, либо AC не гипотенуза.

Предположим, что ∠ABC = 90°. Тогда AC - гипотенуза.

1. Гипотенуза как диаметр: В прямоугольном треугольнике гипотенуза является диаметром описанной окружности.
2. AC = 4 см - это гипотенуза.
3. Диаметр (d) = AC = 4 см.
4. Радиус (R) = d / 2 = 4 см / 2 = 2 см.

Однако, в условии указано, что ∠B = 30°. Это противоречит тому, что треугольник прямоугольный, если B - вершина прямого угла.

Рассмотрим случай, если ∠C = 90° или ∠A = 90°.

Случай 1: ∠C = 90°

• AB - гипотенуза.
• AC = 4 см (катет).
• ∠B = 30°.
• В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы.
• AC = AB / 2.
• 4 см = AB / 2.
• AB = 4 см * 2 = 8 см.
• AB - гипотенуза, значит, AB - диаметр описанной окружности.
• Диаметр (d) = 8 см.
• Радиус (R) = d / 2 = 8 см / 2 = 4 см.

Случай 2: ∠A = 90°

• BC - гипотенуза.
• AC = 4 см (катет).
• ∠B = 30°.
• В прямоугольном треугольнике катет, прилежащий к углу 30°, равен половине гипотенузы, умноженной на cos(30°), или противолежащий катет (AC) равен половине гипотенузы, умноженной на sin(30°).
• AC = BC * sin(30°).
• 4 см = BC * (1/2).
• BC = 4 см * 2 = 8 см.
• BC - гипотенуза, значит, BC - диаметр описанной окружности.
• Диаметр (d) = 8 см.
• Радиус (R) = d / 2 = 8 см / 2 = 4 см.

Учитывая, что на рисунке 2 угол B выглядит как острый, и AC является катетом, наиболее вероятен вариант, когда ∠C = 90°.

Ответ: Радиус окружности равен 4 см.